Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

(S_x)_{32}=i\hbar\end{cases}\;</Math>|30.21}}

Następnie wyznaczmy współrzędne operatora spinowe {{Formuła|<MATH>\hat{S}</MATH>}} na podstawie obliczeń dokonanych w punktach {{LinkWzór|30.17}}, {{LinkWzór|30.19}} i {{LinkWzór|30.21}}:

\begin{pmatrix}

0&0&0\\

\end{pmatrix}</MATH>|30.24}}}}

Związki między współrzędnymi macierzy spinowych, które później udowodnimy, przedstawiamy podobnie jak dla zwykłych orbitalnych operatorów momentu pędu:

 

Udowodnijmy komutator {{LinkWzór|30.25}} na współrzędnych operatora momentu pędu spinowego:

==Wektory spinowe, równania własne dla całkowitego momentu pędu kwantu==

Prowadźmy trójwymiarową przestrzeń spinową, którymi wektorami bazy w układzie kartezjańskim będą formalnie zapisane wektory spinowe &chi;, które jak można udowodnić są do siebie ortonormalne i są to kanoniczne wersory w rozważanej bazie:

|3={{IndexWzór|<MATH>\vec{\chi}_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}</MATH>|30.37}}}}

Wprowadźmy nowe wektory spinowe tensora rangi drugiej zdefiniowane przy pomocy {{LinkWzór|30.35}}, {{LinkWzór|30.36}}, a ich definicje są takie by ich norma była równa jeden, należy przy tym pamiętać, że te wektory spinowe rangi drugiej nie muszą być wcale do siebie prostopadłe, w przypadku pierwszym spinor o numerze jeden:

\end{pmatrix}</MATH>|30.43}}

Również można udowodnić, że zachodzą związki na wektorach spinowych drugiego rzędu na macierzach spinowych {{LinkWzór|30.41}}, {{LinkWzór|30.42}} i {{LinkWzór|30.43}}

*gdzie {{Formuła|<MATH>S=1\;</MATH>}}, zaś {{Formuła|<MATH>k=+1,0,-1\;</MATH>}}

Udowodnijmy zależności {{LinkWzór|30.44}}, {{LinkWzór|30.45}} i {{LinkWzór|30.46}} dla trzech możliwych k i jednego S:

(l(l+1)+2-2)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})=l(l+1)\hbar^2(\hat{l}Y_{lm})</MATH>|30.52}}

Z definicji wartość własna kwadratu momentu pędu całkowitego przyjmuje się jako {{Formuła|<MATH>j(j+1)\hbar^2\;</mATH>}}, a momentu pędu orbitalnego {{Formuła|<MaTH>l(l+1)\hbar^2\;</MATH>}}. Dochodzimy do wniosku, że w obliczeniach {{LinkWzór|30.52}} musimy przyjąć j=l, ponieważ przy składaniu orbitalnego momentu pędu ze spinem, którego liczba kwantowa jest w trzech postaciach, że j=l-1,l,l+1, ale pole elektromagnetyczne wybiera jedną z nich, tzn. j=l i dlatego musimy napisać dla {{LinkWzór|30.47}} i {{LinkWzór|30.52}} w postaci równań własnych: