Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Działania na wektorach: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 3:
 
==Układ współrzędnych==
{{IndexGrafikaRysunek|Coord planes color point pl.svg|trój_wymiar_ukl_wsp|Trójwymiarowy prawoskrętny układ współrzędnych}}
W układzie współrzędnych w przestrzeni n-wymiarowej możemy zaobserwować n-proste, które nazywamy osiami. Przecinają się one w jednym punkcie, zwanym punktem zerowym, którego współrzędne są równe (0,0,...,0). W środku układu współrzędnych jest określana baza n-wymiarowa, najczęściej kanoniczna, której każdy wektor ma przedstawienie {{Formuła|<MATH>\vec{e}_i=(0,0,...,1_i,....,0)\;</MATH>}}. Dla przestrzeni trójwymiarowej euklidesowej układ odniesienia jest pokazany na rysunku obok. Jak widzimy, każdy jego punkt jest określany za pomocą tylko trzech współrzędnych. Kąty między tymi [[w:Wersor|wersorami]] są kątami prostymi.
 
==Definicja wektora==
Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, tzn. taką w której każdy z punktów można opisać za pomocą n współrzędnych:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>A=(a_1,a_2,..,a_n)\;</MATH>|1.1}}
Weźmy dwa takie punkty, które połączymy pewnym odcinkiem, i określimy zwrot do jednego z tych punktów. Wektor, który w tym przypadku nazywamy zaczepionym, definiujemy jako:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{AB}=B-A=(b_1,b_2,...,b_n)-(a_1,a_2,...,a_n)=[b_1-a_1,b_2-a_2,...,b_n-a_n]\;</MATH>|1.2}}
Zatem, ogólnie każdy wektor zaczepiony czy swobodny możemy zapisać w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATh>\vec{a}=[a_1,a_2,...,a_n]=\vec{k}_1a_1+\vec{k}_2a_2+...+\vec{k}_na_n\;</MATH>|1.3}}
Co dla przestrzeni trójwymiarowej {{linkWzórLinkWzór|1.3}}, numerując kolejno współrzędne przez x,y,z, to wspomniany wzór zapisać można jako:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{a}=[a_x,a_y,a_z]=\vec{i}a_x+\vec{j}a_y+\vec{k}a_z\;</MATh>|1.4}}
 
==Dodawanie i odejmowanie wektorów==
{{IndexGrafikaRysunek|Vectoren optellen 2.svg|dodaw_dw_wek|Dodawanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej|Pozycja=center}}▼
{{IndexGrafikaRysunek|Vector subtraction.png|odej_dwu_wekodej_dw_wek|Odejmowanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej|Pozycja=center}}▼
Jeśli mamy dwa wektory {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, to różnicą (sumą) dwóch wektorów, ogólnie niezaczepionych (tzn. takich w których początek wektora nie jest określony) nazywamy działanie o następującej postaci:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{c}=\vec{a}\pm\vec{b}=[a_1,a_2,...,a_n]\pm[b_1,b_2,...,b_n]=[a_1\pm b _1,a_2\pm b_2,...,a_n\pm b_n]\;</MATH>|1.5}}
Graficznie odejmowanie (dodawanie) wektorów określamy: według rysunku {{LinkRysunek|dodaw_dw_wek}}, a odejmowanie {{LinkRysunek|odej_dw_wek}}.
<div style="display:flex;flex-direction:row">
▲{{IndexGrafika|Vectoren optellen 2.svg|dodaw_dw_wek|Dodawanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej|Pozycja=center}}
▲{{IndexGrafika|Vector subtraction.png|odej_dwu_wek|Odejmowanie dwóch wektorów w przestrzeni dwuwymiarowej|Pozycja=center}}
</div>
 
==Norma wektora==
Normą wektora {{Formuła|<MATH>\vec{a}=[a_1,a_2,...,a_n]\;</MATH>}} w przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej nazywamy długość tego wektora, którego wzór wygląda:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>|\vec {a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\;</MATH>|1.6}}
 
==Iloczyn skalarny==
{{IndexGrafikaRysunek|Inner-product-angle.png|dwa_wek_o_wsp|Dwa wektory o wspólnym początku}}
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy działanie określone jako iloczyn długości tychże wektorów oraz kosinusa kąta między nimi (określonego jak gdyby te wektory miały jeden punkt wspólny i różne końce)
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}||\vec{y}|\cos\alpha\;</MATH>|1.7}}
Iloczyn skalarny dwóch wektorów można alternatywnie określić jako:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{x}\cdot\vec{y}=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\;</MATH>|1.8}}
Znając iloczyn skalarny dwóch wektorów określony wzorem {{linkWzór|1.7}}, a także długości wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{x}\;</math>}} i {{Formuła|<maTh>\vec{y}\;</MATH>}} określonych wedle wzoru {{LinkWzór|1.6}}, można zapisać kosinus kąta między nimi:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\cos\alpha={{\vec{x}\cdot\vec{y}}\over{|\vec{x}||\vec{y}|}}\;</MAtH>|1.9}}
 
==Iloczyn wektorowy==
Mając definicję iloczynu mieszanego, skonstruowaną za pomocą iloczynu wektorowego i skalarnego, można przedstawić iloczyn wektorowy jako macierz wersorów układu kartezjańskiego wraz ze współrzędnymi dwóch wektorów, dzięki któremu wyznaczamy iloczyn wektorowy. Zapiszmy iloczyn skalarny wektora {{Formuła|<MATH>\vec{c}\;</MATH>}} przez iloczyn wektorowy wektorów {{Formuła|<MaTh>\vec{a}</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}</MATH>}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=
\eta\begin{vmatrix}
c_x&c_y&c_z\\
Linia 52 ⟶ 49:
 
Zatem wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem pierwszego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<MATh>\vec{c}=\vec{i}=(1,0,0)\;</MATh>}}, mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>d_x=\vec{i}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix}
1&0&0\\
a_x&a_y&a_z\\
Linia 61 ⟶ 58:
\end{vmatrix}</MATH>|1.11}}
Wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem drugiego wektora bazy kanonicznej w starym układzie współrzędnych {{Formuła|<math>\vec{c}=\vec{j}=(0,1,0)\;</MATH>}}, mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>d_y=\vec{j}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix}
0&1&0\\
a_x&a_y&a_z\\
Linia 70 ⟶ 67:
\end{vmatrix}</MATH>|1.12}}
wyznaczmy współrzędne iloczynu wektorowego względem trzeciego wektora bazy kanonicznej układu współrzędnych {{Formuła|<MATH>\vec{c}=\vec{k}=(0,0,1)\;</MATH>}}, mamy:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>d_z=\vec{k}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\eta\begin{vmatrix}
0&0&1\\
a_x&a_y&a_z\\
Linia 79 ⟶ 76:
\end{vmatrix}</MATH>|1.13}}
Jeśli weźniemy {{Formuła|<MATH>\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)\;</MATH>}}, to układ trzech wektorów {{Formuła|<Math>(\vec{d},\vec{a},\vec{b})\;</MATH>}} jako nowy układ współrzędnych jest zgodny ze starym układem współrzędnym kartezjańskim, gdy wyznacznik macierzy przejścia ze starego układu współrzędnych do nowego spełnia warunek det(T)>0. Zbudujmy macierz przejścia:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>T=\begin{bmatrix}
d_x&d_y&d_z\\
a_x&a_y&a_z\\
Linia 85 ⟶ 82:
\end{bmatrix}</MATH>|1.14}}
Wykorzystując definicję wektora {{Formuła|<MATH>\vec{d}\;</MAth>}}, którego współrzędne są podane w punktach {{LinkWzór|1.11}}, {{LinkWzór|1.12}} i {{LinkWzór|1.13}}, uzyskujemy wyznacznik macierzy T {{linkWzór|1.14}}:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\det T=\begin{vmatrix}
\eta\begin{vmatrix}
a_y&a_z\\
Linia 113 ⟶ 110:
Aby w naszej nowej bazie skrętność była zgodna ze skrętnością starego układu trójwymiarowego kartezjańskiego, musi zachodzić η = 1 wedle obliczeń {{LinkWzór|1.15}}.
Udowodniliśmy więc, że iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów jest dany tak, by jego definicja na podstawie wcześniejszych rozważań i η=1 (obliczenia {{linkWzór|1.15}}) była napisana :
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{a}\times\vec{b}=\vec{i}d_x+\vec{j}d_y+\vec{k}d_z=
\vec{i}\begin{vmatrix}
a_y&a_z\\
Linia 132 ⟶ 129:
===Długość wyniku iloczynu wektorowego===
Znając długość kąta między wektorami składowymi iloczynu wektorowego, iloczyn wektorowy operujący na długościach wektorów można przedstawić :
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>|\vec{c}|=|\vec{a}| |\vec{b}|\sin\alpha\;</MATH>|1.17}}
 
W celu udowodnienia wzoru {{linkWzór|1.17}} podnieśmy go do kwadratu i wykorzystamy wzór na jedynkę trygonometryczną, otrzymamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}\sin^2\alpha\Rightarrow\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}(1-\cos^2\alpha)\Rightarrow\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}-\vec {a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}\cos^2\alpha\;</MATH>|1.18}}
Do tożsamości {{linkWzór|1.18}} wykorzystajmy wzór na iloczyn skalarny {{LinkWzór|1.7}}, wówczas możemy napisać :
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATh>\vec{c}^{\,2}=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\Leftrightarrow \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)^2=\vec{a}^{\,2}\vec{b}^{\,2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\;</MATH>|1.19}}
 
Dalszym krokiem jest wykorzystanie wzorów na długość dowolnego wektora {{LinkWzór|1.6}} i alternatywnego wzoru na iloczyn skalarny {{LinkWzór|1.8}}, znając współrzędne składowych wektorów {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, skąd można wyznaczyć składowe wektorów iloczynu wektorowego. Zatem {{linkWzór|1.19}} na podstawie naszych rozważań zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>(a_yb_z-a_zb_y)^2+(a_xb_z-a_zb_x)^2+(a_xb_y-a_yb_x)^2=(a_x^2+a_y^2+a_z^2)(b_x^2+b_y^2+b_z^2)-(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)^2\;</MATH>|1.20}}
 
Lewą stronę równości {{LinkWzór|1.20}} możemy rozpisać w sposób:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>L=a_y^2b_z^2+a_z^2b_y^2-2a_ya_zb_yb_z+a_x^2b_z^2+a_z^2b_x^2-2a_xa_zb_xb_z+a_x^2b_y^2+a_y^2b_x^2-2a_xa_yb_xb_y\;</MATH>|1.21}}
Prawą stronę równości {{LinkWzór|1.20}} piszemy w postaci:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>P=a_x^2b_x^2+a_x^2b_y^2+a_x^2b_z^2+a_y^2b_x^2+a_y^2b_y^2+a_y^2b_z^2+a_z^2b_x^2+a_z^2b_y^2+a_z^2b_z^2-a_x^2b_x^2-a_y^2b_y^2-a_z^2b_z^2-2a_xa_yb_xb_y-2a_xa_zb_xb_z+\;</MATH><BR><MATH>-2a_ya_zb_yb_z
\;</MATH>|1.22}}
Po redukcji wyrazów podobnych w wyrażeniu {{LinkWzór|1.22}} dochodzimy do wniosku, że zachodzi L=P, zatem udowodniliśmy, że spełniona jest tożsamość {{linkWzór|1.20}}, a zatem {{LinkWzór|1.17}}.
Linia 151 ⟶ 148:
==Iloczyn mieszany==
Korzystając z {{LinkWzór|1.16}}, iloczyn mieszany przedstawiamy przyjmując &eta;=1, wówczas skrętność dwóch składowych iloczynu wektorowego i samego wyniku jest taka sama jak skrętność układu odniesienia, w której zanurzone są te trzy wspomniane wektory.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=[c_x,c_y,c_z][d_x,d_y,d_z]=
c_x\begin{vmatrix}
a_y&a_z\\
Linia 171 ⟶ 168:
 
Z definicji wyznacznika oraz definicji iloczynu mieszanego {{LinkWzór|1.23}} zachodzi:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATh>\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})\;</MATh>|1.24}}
 
==Właściwości podwójnego iloczynu wektorowego==
Napiszmy pewną tożsamość, którą udowodnimy później:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATh>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\vec{b})\;</MATh>|1.25}}
Poniżej przedstawiony jest dowód z użyciem definicji iloczynu wektorowego {{LinkWzór|1.16}} i iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów {{linkWzór|1.8}}, wchodzących w skład podwójnego iloczynu wektorowego. Skorzystamy tu z nieformalnej definicji iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej jako macierzy, w której występują ortonormalne wersory.
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
b_x&b_y&b_z\\
Linia 207 ⟶ 204:
==Symbole Leviego-Civity w iloczynie wektorowym==
Iloczyn wektorowy {{LinkWzór|1.16}} można alternatywnie przedstawić w łatwiejszy sposób, tzn. za pomocą [[w:Symbol Leviego-Civity|symboli Leviego-Civity]] w układach prostokątnych:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k</MATH>|1.27}}
 
*gdzie: symbol &epsilon;<sub>ijk</sub>, nazywany symbolem Leviego-Civity, definiujemy w sposób:
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>\epsilon_{ijk} =
\begin{cases}
1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ jest to permutacja parzysta } (1,2,3) \\
Linia 219 ⟶ 216:
Widzimy, że w definicji {{LinkWzór|1.28}} dla każdej parzystej permutacji (1,2,3) we wskaźnikach ''ijk'', symbol Leviego-Civity daje nam wartość 1 (jeden), a dla każdej nieparzystej permutacji daje nam wartość -1 (minus jeden). Gdy wskaźniki w ''ijk'' się powtarzają, wówczas symbol ten jest z oczywistych powodów równy zero.
Jeśli mamy układy ogólnie krzywoliniowe (zakrzywione), wtedy {{LinkWzór|1.27}} przepisać możemy w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})^i={\epsilon^{i}}_{jk}a^jb^k</MATH>|1.27a}}
Załóżmy, że {{linkWzór|1.27a}} jest spełnione dla układów początkowo prostokątnych, wtedy z definicji transformacji wektora według algebry, mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>x^i=\overline{x}^{i^i}{\Lambda^i}_{i^'}\;</MATH>|1.28b}}
Wykorzystajmy transformację {{LinkWzór|1.28b}} do tożsamości {{linkWzór|1.27a}} napisaną jako transformacja z dowolnych układów współrzędnych krzywoliniowych (zakrzywionych) do układów prostokątnych płaskich, co:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})^{i}{\overline\Lambda^{i^'}}_{i}={\epsilon^{i}}_{jk}{{\overline\Lambda}^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}\Rightarrow
\overline{(\vec{a}\times\vec{b})}^{i^'}={{\epsilon}^{i}}_{jk}{\overline\Lambda^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}={\overline{\epsilon}^{i^'}}_{j^'k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}
\;</MATH>|1.28ba}}
Gdzie symbole Leviego-Civity w {{linkWzór|1.28ba}}, zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\overline{\epsilon}^{i^'}}_{j^'k^'}={\epsilon^{i}}_{jk}{{\overline\Lambda}^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\;</MATH>|1.28c}}
Symbole Leviego-Civity z primami i nadkreśleniami, to są dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych), a bez primów bez nadkreśleń te symbole są dla układów, ale tym razem dla prostokątnych, czyli wzór {{linkWzór|1.27a}} jest dla układów ogólnie krzywoliniowych (zakrzywionych), jak udowodniliśmy z przestawieniem symboli Leviego-Civity według {{linkWzór|1.28c}}.
 
==Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera==
Mając już wyznaczony wzór na podwójny iloczyn wektorowy {{LinkWzór|1.25}} załóżmy, że kolejno wektory {{Formuła|<MATH>\vec{a}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>\vec{b}\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATh>\vec{c}\;</MATH>}} są równe wektorom bazy kanonicznej trójwymiarowego euklidesowego układu współrzędnych, tzn. są zapisane:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<Math>\vec{e}_1=(1,0,0)\;</MATH>|1.29}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{e}_2=(0,1,0)\;</MAth>|1.30}}|3={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{e}_3=(0,0,1)\;</MATH>|1.31}}}}
 
dlatego podwójny iloczyn wektorowy {{linkWzór|1.25}} zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{e}_i\times(\vec{e}_j\times\vec{e}_k)=\vec{e}_j(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_k)-\vec{e}_k(\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j)\;</MATH>|1.32}}
 
Znając definicję wersorów kanonicznych trójwymiarowego układu współrzędnych {{linkWzór|1.29}}, {{LinkWzór|1.30}} i {{linkWzór|1.31}}, oraz wykorzystując definicję iloczynu wektorowego przy pomocy symboli Leviego-Civity, którego kolejne wektory są wektorami bazy kanonicznej {{LinkWzór|1.32}}, możemy utworzyć następującą tożsamość:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\epsilon_{pil}\epsilon_{ljk}=\delta_{pj}\delta_{ik}-\delta_{pk}\delta_{ij}\;</MATH>|1.33}}
<noinclude>{{kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Działania_na_wektorach”