Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 4:
==Konwencja Einsteina==
W standardowej konwencji sumacyjnej, dla przypadku tensorowego przy sumowaniu iloczynów tensora kontrawariantnego T<sup>n</sup> i kowariantnego S<sub>n</sub>, których wskaźnikiem niemym jest n, tę sumę możemy zapisać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>P=\sum_pT^pS_p\;</MATH>|2.1}}
A jeśli użyjemy konwencji sumacyjnej Einsteina, to przykład {{LinkWzór|2.1}} zapisujemy w prostszej postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>P=T^pS_p\;</MATH>|2.2}}
Widzimy, że obie konwencje oznaczają to samo, ale wygodniejsza jest konwencja Einsteina, bo zapis wyrażenia P jest o wiele prostszy i zawsze będziemy stosować konwencję Einsteina (chyba że zostanie napisane inaczej).
 
==Tensor kowariantny==
Tensorem kowariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych, których liczba wynosi ''m'', na nowe o takiej samej liczbie zmiennych:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\widehat{B}_{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,..,\widehat{q}_m)=
\sum_{k_i}\left[\prod^{n}_{i=1}{{\partial q^{k_i}}\over{\partial \widehat{q}^{p_i}}}\right]B_{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.3}}
Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach dolnych ze współrzędnych starych na nowe, dla dwóch zmiennych zapisanych w konwencji Einsteina.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>
\widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_2}}\over{\partial\widehat{q}^{p_2}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_2)\;</math>|2.4}}
A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach dolnych dla m zmiennych ze starych współrzędnych na nowe zapisaną w konwencji Einsteina przedstawiamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>
\widehat{B}_{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_1,...,\widehat{q}_m)={{\partial q^{k_1}}\over{\partial\widehat{q}^{p_1}}}{{\partial q^{k_2}}\over{\partial\widehat{q}^{p_2}}}B_{k_1k_2}(q_1,q_1,..,q_m)\;</math>|2.5}}
 
==Tensor kontrawariantny==
Tensorem kontrawariantnym bez konwencji Einsteina, który zawiera tylko dolne wskaźniki o ściśle określonej liczbie, nazywamy obiekt, który transformuje się ze zmiennych starych na nowe według schematu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2...p_n}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)=\sum_{k_i}\left[\prod^n_{i=1}{{\partial\widehat{q}^{p_i}}\over{\partial q^{k_i}}}\right]A^{k_1k_2...k_n}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.6}}
Dla przykładu podamy jak się transformuje tensor o dwóch wskaźnikach górnych dla dwóch zmiennych zapisanej ze starych na nowe w konwencji Einsteina:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}\widehat{A}^{k_1k_2}(q_1,q_2)\;</MATH>|2.7}}
A transformację tensora z jednych współrzędnych do drugich o dwóch wskaźnikach górnych dla m zmiennych zapisanych q starych współrzędnych na nowe w konwencji Einsteina piszemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\widehat{A}^{p_1p_2}(\widehat{q}_1,\widehat{q}_2,...,\widehat{q}_m)={{\partial\widehat{q}^{p_1}}\over{\partial q^{k_1}}}{{\partial\widehat{q}^{p_2}}\over{\partial q^{k_2}}}A^{k_1k_2}(q_1,q_2,...,q_m)\;</MATH>|2.8}}
 
==Definicja prostego tensora metrycznego==
Załóżmy, że mamy przestrzeń n-wymiarową, przy zastosowaniu twierdzenia o różniczce zupełnej zależnej od n zmiennych, używając przy tym definicji delty Kroneckera, możemy przedstawić infinitezymalną długość według schematu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>ds=\sqrt{ dx^i dx^{i}}=\sqrt{\delta_{ij}dx^idx^j}=\sqrt{\delta_{ij} {{\partial x^i}\over{\partial p^k}} {{\partial x^j}\over{\partial p^r}}dp^kdp^r}=\sqrt{g_{kr}dp^kdp^r}\;</MATH>|2.9}}
W obliczeniach {{LinkWzór|2.9}} wprowadziliśmy tensor g<sub>kr</sub>, mając zmienne x<sup>i</sup> przedstawione w zależności od współrzędnych w układzie krzywoliniowym:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{ \partial p^r}}\;</MATH>|2.10}}
Mając powyższy wzór {{linkWzór|2.10}} tensor metryczny w układzie kartezjańskim przedstawiany jest jako delta Kroneckera, który jest tensorem symetrycznym z definicji.
Teraz udowodnimy, że tensor metryczny jest tensorem symetrycznym, korzystając z definicji tensora Kroneckera, który jest symetryczny, wtedy możemy dojść do wniosku, że:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g_{kr}=\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}
={{1}\over{2}}\left(\delta_{ij}{{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ \delta_{ji}{{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right)
={{1}\over{2}}\delta_{ij}\left({{\partial x_i}\over{\partial p^k}}{{\partial x_j}\over{\partial p^r}}+ {{\partial x_j}\over{\partial p^k}}{{\partial x_i}\over{\partial p^r}} \right)
Linia 46:
==Definicja odwrotnego tensora metrycznego==
Tensor odwrotny do tensora metrycznego g<sub>kr</sub> definiujemy w analogii do tensora metrycznego prostego, przestawionego w punkcie {{LinkWzór|2.10}}, wedle wzoru:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}</MATH>|2.12}}
Oczywiste jest, że tensor metryczny odwrotny {{LinkWzór|2.12}} jest tensorem symetrycznym (korzystać tutaj będziemy z symetryczności delty Kroneckera), czego dowód jest przedstawiony poniżej:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g^{kr}=\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}={{1}\over{2}}\left(\delta^{ij}{{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+\delta^{ji}{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)=
{{1}\over{2}}\delta^{ij}\left({{\partial p^k}\over{\partial x^i}}{{\partial p^r}\over{\partial x^j}}+{{\partial p^k}\over{\partial x^j}}{{\partial p^r}\over{\partial x^i}}\right)
 
Linia 57:
==Wykorzystanie tensora metrycznego prostego lub odwrotnego w działaniach na zwykłych tensorach==
Aby zamienić zwykły tensor lub tensor metryczny z jego wersji kowariantnej do kontrawariantnej lub odwrotnie, postępujemy wedle schematów:
{{ElastycznyWiersz|1={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>A^p=A_sg^{sp}\;</MATH>|2.14}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>A_p=A^sg_{sp}\;</MATH>|2.15}}}}
Jeśli zwykły tensor ma kilka wskaźników, składających się ze wskaźników dolnych lub górnych albo składających się ze wskaźników jednocześnie górnych i dolnych, to możemy je przenosić z góry na dół lub odwrotnie, wykorzystując podobne przedstawienia do {{LinkWzór|2.14}} lub {{linkWzór|2.15}}.
 
==Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego==
Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego {{LinkWzór|2.10}} i odwrotnego {{LinkWzór|2.12}} oraz podobnych przekształceń do {{LinkWzór|2.14}} i {{linkWzór|2.15}}, kolejno postępując:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{g^m}_k={g_k}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{\partial p^r}}\delta^{pq}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={\delta^j}_p\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^i}}=
{{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m</MATH>|2.16}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.16}} dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{g_k}^{m}={\delta_k}^m</MATH>|2.17}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{g^m}_k={\delta^m}_k</MATH>|2.18}}}}
Macierz g<sup>m</sup><sub>k</sub> jest macierzą diagonalną i jednostkową, a także tensor jako macierz g<sub>ij</sub> jest macierzą odwrotną do macierzy (tensora) g<sup>ij</sup> wedle obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|2.16}}.
 
==Baza krzywoliniowa, a tensor metryczny ==
W układzie krzywoliniowym wektor wodzący można przedstawić w układzie Euklidesa, w którym zanurzony jest układ krzywoliniowy, a zapisać go możemy przy pomocy wzoru zależnego od współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych krzywoliniowych:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{r}=\vec{k}_i x^i(q^j)\;</MATH>|2.19}}
Zdefiniujmy wektor, który jest zapisywany jako pochodna cząstkowa wektora wodzącego {{LinkWzór|2.19}} względem współrzędnej krzywoliniowej q<sup>m</sup>:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{e}_m={{\partial \vec{r}}\over{\partial q^m}}={{\partial \left(\vec{k}_i x^i\right)}\over{\partial q^m}}=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}\;</MATH>|2.20}}
Wyznaczmy iloczyn wektorów zdefiniowanych w {{linkWzór|2.20}} o wskaźnikach ''m'' i ''n'', wtedy możemy dojść do wniosku, że końcowy wynik jest tensorem metrycznym prostym {{LinkWzór|2.10}}, co wynika z definicji wektora kowariantnego {{linkWzór|2.20}}:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\vec{e}_m\vec{e}_n=\vec{k}_i{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}
\vec{k}_j{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial q^m}}{{\partial x^j}\over{\partial q^n}}=g_{mn}\;</MATH>|2.21}}
Jeszcze raz przepiszmy wynik końcowy obliczeń w punkcie {{linkWzór|2.21}}, który jest analogiczną definicją do {{LinkWzór|2.10}}. Stąd wynika, że iloczyn dwóch wektorów kowariantnych jest równy podwójnie kowariantnemu tensorowi metrycznemu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g_{mn}=\vec{e}_m\vec{e}_n\;</MATH>|2.22}}
Podnieśmy wskaźnik ''m'' do góry we wzorze {{linkWzór|2.22}}, który jest wektorem {{LinkWzór|2.20}} i jednocześnie tensorem, a zatem ostatecznie możemy napisać iloczyn m-tego kontrawariantnego wektora bazy ''przez'' n-ty kowariantny wektor, który jak się można przekonać jest tensorem metrycznym o wskaźniku górnym m i dolnym n:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{g^{m}}_{n}=\vec{e}^m\vec{e}_n\;</MATH>|2.23}}
 
==Definicja symboli Christoffela==
Pochodną danego wektora bazy po współrzędnej krzywoliniowej (np. pochodną {{Formuła|<MATH>e_l</MATH>}} po {{Formuła|<MATH>q^l</MATH>}}) można wyrazić przez kombinacje liniowe wektorów bazy {{Formuła|<MATH>e_j</MATH>}} - współczynniki kombinacji nazywa się symbolami Christofela dla wektorów bazy {{Formuła|<MATH>e_j</MATH>}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<math>\nabla_le_j \equiv \frac{\partial e_j}{\partial q^l} = {\Gamma^k}_{l j}e_k.\;</MATH>|2.24}}
'''Twierdzenie:'''
Dla wektorów kobazy {{Formuła|<MATH>e^j</MATH>}} zachodzą związki
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\nabla_le^j\equiv \frac{\partial e^j}{\partial q^l} = -{\Gamma^j}_{l k}e^k\;</MATH>|2.25}}
 
'''Dowód:'''
Pomnóżmy wzór {{linkWzór|2.24}} przez {{Formuła|<MATH>e_r</MATH>}} i wykorzystajmy zależność {{Formuła|<MATH>e_k e_r = g_{kr}</MATH>}} (por. {{LinkWzór|2.22}}):
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\nabla_le_j e_r={\Gamma^k}_{lj}g_{kr}\;</MATH>|2.26}}
 
Pomnóżmy {{LinkWzór|2.26}} przez tensor metryczny {{Formuła|<MATH>g^{kr}</MATH>}} i wykorzystajmy tożsamość {{LinkWzór|2.18}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH> (\nabla_le_j)e_rg^{kr}={\Gamma^k}_{lj}\; </MATH>|2.27}}
 
Pomnóżmy obustronnie {{LinkWzór|2.27}} przez {{Formuła|<MATH>e^{j}</MATH>}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e_rg^{kr}e^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.28}}
 
Ponieważ {{Formuła|<MATH>e_r g^{k r} = e^k</MATH>}} (por. {{linkWzór|2.20}}), oraz
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>e^ie_k=e^i g_{sk}e^s=g_{sk}e^ie^s=g_{sk}g^{is}={g^i}_k={\delta^i}_k\;</MATH>|2.29}}
to równanie {{LinkWzór|2.28}} można przekształcić do postaci:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^ke^j={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow\nabla_l (e_je^ke^j)-(\nabla_l e^k) e_je^j-(\nabla_l e^j)e_je^k={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k{g^{j}}_j)-(\nabla_l e^k) {g^j}_j-(\nabla_l e^j){g^k}_j={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.30}}
 
Wykorzystując tożsamość {{linkWzór|2.18}} w {{LinkWzór|2.30}} otrzymamy
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\nabla_l e^k){g^{j}}_j-(\nabla_le^k){g^{j}}_j-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.31}}
 
Pierwsze dwa wyrazy w {{LinkWzór|2.31}} redukują się, tzn. mamy
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>-(\nabla_le^k)={\Gamma^k}_{lj}e^j\Rightarrow(\nabla_le^k)=-{\Gamma^k}_{lj}e^j\;</MATH>|2.32}}
 
- otrzymaliśmy wzór {{LinkWzór|2.25}} , cnd.
Linia 113:
==Pochodna kowariantna współrzędnej kontrawariantnej==
W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną wektora o współrzędnych kowariantnych. Dowolny wektor A można rozłożyć na składowe kontrawariantne A<sup>i</sup> względem wersorów e<sub>i</sub>:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>A=A^ie_i\;\;</MATH>|2.33}}
Policzmy różniczkę wektora A wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej z iloczynu dwóch wielkości:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dA=dA^i e_i+A^i de_i\;\;</MATH>|2.34}}
Wykorzystać tożsamość {{LinkWzór|2.24}} obliczamy różniczkę wektora e<sub>i</sub>
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>de_i={{\partial e_i}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_i dx^l={\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.35}}
Wzór {{LinkWzór|2.35}} wstawiamy do {{linkWzór|2.34}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^i}\over{\partial x^l}}dx^le_i+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.36}}
Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze {{LinkWzór|2.36}} otrzymujemy wzór:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}dx^le_k+A^i{\Gamma^k}_{li}e_kdx^l\;</MATH>|2.37}}
Obie strony {{LinkWzór|2.37}} dzielmy przez różniczkę ''du'' - po przekształceniu otrzymujemy pochodną zupełną wielkości x<sup>l</sup> względem zmiennej ''u'' pomnożonej przez wektor e<sub>k</sub>:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li} \right){{dx^l}\over{du}}e_k\;</MATH>|2.38}}
Wyrażenie w nawiasie wzoru {{linkWzór|2.38}} definiuje pochodną kowariantną: oprócz zwykłej pochodnej cząstkowej mamy tu składnik zawierający sumę iloczynów współrzędnych wektora A i symbolu Christoffela:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{A^k}_{;l}={{\partial A^k}\over{\partial x^l}}+A^i{\Gamma^k}_{li}\;</MATH>|2.39|Obramuj}}
Wyrażenie {{linkWzór|2.38}} nazywamy pochodna absolutną, a {{linkWzór|2.39}} jest '''pochodną kowariantną wielkości kontrawariantnej'''.
 
==Pochodna kowariantna wielkości współrzędnej kontrawariantnej==
W tym rozdziale policzymy pochodną kowariantną o współrzędnych kowariantnych, w tym celu napiszmy wektor A, który można rozłożyć na składowe B<sub>i</sub> względem wektorów kontrawiantnych e<sup>i</sup>, wedle sposobu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>B=B_je^j\;\;</MATH>|2.40}}
A teraz policzmy różniczkę wielkości wektorowej B zdefiniowanej wedle wzoru {{LinkWzór|2.40}} wykorzystując twierdzenie o różniczce zupełnej iloczynu dwóch wielkości. Na samym końcu nasza różniczka ''dB'' wyraża się wzorem:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dB=dB_je^j+Bde^j\;\;</MATH>|2.41}}
Możemy również, wykorzystując tożsamość {{LinkWzór|2.25}} i używając jej we wzorze na różniczkę wersora e<sub>i</sub>, napisać tożsamość na różniczkę zupełną wielkości wektora kontrawariantnego o wskaźniku i-tym:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>de^j={{\partial e^j}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e^jdx^l=-{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.42}}
Tożsamości na różniczkę wektora wielkości kontrawiariantnej {{linkWzór|2.42}} możemy użyć we wzorze na różniczkę zupełną wielkość B {{linkWzór|2.41}}, którą można przy pomocy tensora Christoffela zapisać wzorem:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dB={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}e^jdx^l+B_j\nabla_le^jdx^l={{\partial B_j}\over{\partial x^l}}dx^le^j-B_j{\Gamma^j}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.43}}
Po przemianowaniu indeksów w pierwszym składniku we wzorze {{linkWzór|2.43}} możemy przepisać wspomniany wzór na różniczkę zupełną wielkości B jako różniczkę absolutną:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{dB}\over{du}}=\left({{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k=\left( {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\right){{dx^l}\over{du}}e^k\;</MATH>|2.44}}
A zatem zdefiniujmy na podstawie wzoru {{linkWzór|2.44}} pochodną tensorową, która mieści się w nawiasie w wspomnianym wyrażeniu. Zapisujemy ją jako wielkość kowariantną, w której występuje zwykła pochodna cząstkowa i wyraz będący iloczynem współrzędnej wielkości B i symbolu Christoffela:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>B_{k;l}= {{\partial B_k}\over{\partial x^l}}-B_j{\Gamma^j}_{lk}\;</MATH>|2.45|Obramuj}}
Wyrażenie {{linkWzór|2.44}} nazywamy pochodną absolutną, natomiast wzór {{linkWzór|2.45}} nazywamy '''pochodną kowariantną wielkości kowariantnej'''.
 
==Pochodna tensorowa iloczynu tensorów==
Wyznaczymy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, najpierw podając pełną jej postać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.46}}
Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.46}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{linkWzór|2.39}}, po czym przejdziemy do jej prawej strony, zatem przekształcając jednocześnie możemy zapisać:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>(A^iB^j)_{;k}={C^{ij}}_{;k}={C^{ij}}_{,k}+{\Gamma^{i}}_{ks}C^{sj}+
{\Gamma^{j}}_{ks}C^{is}={(A^iB^j)}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^sB^j+{\Gamma^j}_{ks}A^iB^s=\;</MATH><BR><MATH>={A^i}_{,k}B^j+A^i{B^j}_{,k}+({\Gamma^i}_{ls}A^s)B^j+({\Gamma^j}_{ks}B^s)A^i=B^j({A^i}_{,k}+{\Gamma^i}_{ls}A^s)+A^i({B^j}_{,k}+\Gamma^j_{ks}B^s)={A^i}_{;k}B^j+A^i{B^j}_{;k}\;</MATH>|2.47}}
''Co kończy dowód''.
 
Wyznaczmy pochodną tensorową wielkości iloczynu tensorowego, w tym celu najpierw podamy, jak ta zależność jest napisana w pełnej postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(A_iB_j)_{;k}={A_i}_{;k}B_j+A_i{B_j}_{;k}\;</MATH>|2.48}}
Wyznaczmy lewą stronę równania {{LinkWzór|2.48}}, wykorzystując definicję pochodnej kowariantnej {{linkWzór|2.45}}, i przejdziemy do jej prawej strony, przekształcając jednocześnie obie strony:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(A_iB_i)_{;k}=C_{ij;k}=C_{ij,k}-{\Gamma^s}_{ik} C_{sj}-{\Gamma^s}_{jk}C^{is}=(A_iB_i)_{,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}A_iB_s=\;</MATH><Br>
<MATH>=A_iB_{j,k}+A_{i,k}B_j-{\Gamma^s}_{ik}A_sB_j-{\Gamma^s}_{jk}B_sA_i=A_i(B_{j,k}-{\Gamma^s}_{jk}B_s)+(A_{i,k}-{\Gamma^s}_{ik}A_s)B_j=A_iB_{j;k}+A_{i;k}B_j\;</MATH>|2.49}}
''Co kończy dowód.''
Linia 160:
==Właściwości przemienne kolejności wskaźników symboli Christoffela==
Weźmy pochodną cząstkową pewnego skalaru, który nazwiemy &phi; napisaną względem wielkości &alpha; i &beta;, co wyrazimy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\phi_{,i,j}={{\partial}\over{\partial x^{i}}}{{\partial}\over{\partial x^{j}}}\phi\;</MATH>|2.50}}
Można udowodnić, z warunku że zwykła pochodna funkcji jest tensorem stopnia zerowego, że jego pochodna cząstkowa jest także tensorem, zatem możemy napisać dwie tożsamości, z których będziemy korzystać w dalszych krokach naszego rozważania:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\phi_{;i;j}=\phi_{;j;i}\;</MATH>|2.51}}|2={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>\phi_{,i}=\phi_{;i}\wedge \phi_{,j}=\phi_{;j}\;</MATH>|2.52}}}}
Z definicji pochodnej kowariantnej oraz korzystając z faktu, że pochodna cząstkowa zwykłej funkcji jest tensorem, dochodzimy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\phi_{,i,j}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,j,i}-\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.53}}
Pochodna cząstkowa względem parametru x<sup>&alpha;</sup>, a potem od parametru x<sup>&alpha;</sup> jest taka sama, gdybyśmy różniczkowali od odwrotnej strony, zatem wiadomo z analizy matematycznej:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\phi_{,j,i}=\phi_{,i,j}\;</MATH>|2.54}}
W takim bądź razie wyrażenie {{linkWzór|2.53}}, przy pomocy tożsamości {{LinkWzór|2.54}} wynikającej z przemienności różniczkowania cząstkowego, możemy zapisać w uproszczonej postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ij}=\phi_{,k}{\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.55}}
Dla dowolnej pochodnej funkcji zwykłej &phi; i z przemienności różniczkowania cząstkowego funkcji &phi; {{LinkWzór|2.54}}, tensor Christoffela jest zapisywany wzorem poniżej, w którym widać że tensor ten jest przemienny ze względu na kolejność dolnych wskaźników:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^{k}}_{ij}={\Gamma^{k}}_{ji}\;</MATH>|2.56}}
Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\Gamma_{kij}=\Gamma_{ikj}=\Gamma_{jik}\;</MATH>|2.56a}}
Weźmy wzór {{LinkWzór|2.24}} i pomnóżmy go obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>e_l\;</MATH>}} pamiętając, że {{Formuła|<MATH>e_ke^l=e_le^k={\delta_k}^l={\delta_l}^k\;</MATH>}}, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim w symbolach Christoffela, wtedy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^k}_{l j}e_ke^l\Rightarrow(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e_ke^l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e^ke_l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={{{\Gamma_l}^k}_j}e_ke^l\Rightarrow \left((\nabla_le_j)-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\right)e^l=0</MATH>|2.56b}}
A ponieważ wektor {{Formuła|<MATH>e^l\;</MATH>}} może być dowolny, wtedy z {{LinkWzór|2.56b}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>\nabla_le_j-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k=0\Rightarrow\nabla_le_j={{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\;</MATH>|2.56c}}
Porównajmy dwa wzory końcowy {{LinkWzór|2.56c}} z {{linkWzór|2.24}}, wtedy otrzymujemy w przypadku dowolnego {{Formuła|<MATH>e_k\;</MATH>}} przemienność pierwszego wskaźnika z drugim:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={{{\Gamma_l}^k}_j}\;</MATH>|2.56d}}
Zatem właściwość symboli Christoffela przemienności wskaźnika pierwszego z trzecim wychodząc od {{LinkWzór|2.56d}} możemy napisać w inny sposób sprowadząjąc wskaźniki górne na dolne, wtedy wykorzystując {{linkWzór|2.56}} (sprowadzając wskaźniki na dół), potem na podstawie tego dochodzimy do wniosku sprowadzając wskaźnik k do góry, co:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{l j}={\Gamma_{jl}}^k\;</MATH>|2.56e}}
Zatem przemienność pierwszego z drugim (na podstawie {{LinkWzór|2.56d}}) i pierwszego z trzecim {{LinkWzór|2.56e}} wskaźnika symboli Christoffela, czyli mamy właściwość po sprowadzeniu wskaźników górnych na dolne, czyli wtedy zachodzi {{LinkWzór|2.56a}}, co później dzięki właściwości tensora metrycznego ta właściwość też jest spełniona przy sprowadzeniu jakiś wskaźników z dołu do góry.
 
==Uogólnienie tensora absolutnego==
Weźmy tensor o dowolnych wskaźnikach dolnych i górnych, wówczas wielkość A zapisujemy jako zależność od wektorów (tensorów) e<sub>k<sub>i</sub></sub>:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}e_{k_1}e_{k_2}\cdot ...\cdot e_{k_r} e^{r_1}e^{r_2}\cdot ... \cdot e^{r_m}\;\;</MATH>|2.60}}
Stosując konwencje sumacyjną Einsteina, wtedy {{LinkWzór|2.60}} piszemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>A=A^{k_1,k_2,..,k_r}_{r_1,r_2,...,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.61}}
Szczególnymi przypadkami powyższej definicji są schematy zapisane wedle wzorów {{linkWzór|2.33}} i {{linkWzór|2.40}}.
 
==Pochodna kowariantna wielkości o współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych==
Aby udowodnić wzór na pochodną tensorową na dowolną wielkość tensorową, należy skorzystać z definicji wielkości absolutnej z poprzedniego rozdziału, czyli ze wzoru z punktu {{linkWzór|2.61}}, dla której różniczka zupełna wielkości absolutnej wyraża się przez:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dA=d\left[\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)\right]=d\left(A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}\right)\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\left(\sum^r_{q=1}A^{...,k_{q-1},k_q,k_{q+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}de_{k_q}\prod^r_{i=1,i\neq q}e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+\left(\sum^m_{q=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{q-1},r_q,r_{q+1},...}de^{r_q}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1,i\neq q}e^{r^i}\right)\;</MATH>|2.62}}
Teraz skorzystajmy z definicji symboli Christofela, czyli ze wzorów {{LinkWzór|2.24}} i {{LinkWzór|2.25}}, aby dojść do wniosku, że różniczki zupełne wektorów kowariantnych i kowariantnych wyrażają się jak poniżej:
{{ElastycznyWiersz|1={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>de_q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_l e_q dx^l={\Gamma^k}_{lq}e_kdx^l\;</MATH>|2.63}}|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>de^q={{\partial e_q}\over{\partial x^l}}dx^l=\nabla_le^qdx^l=-{\Gamma^q}_{lk}e^kdx^l\;</MATH>|2.64}}}}
A zatem wzór na różniczką wielkości A przedstawia się na podstawie wzoru {{linkWzór|2.62}} do którego podstawiamy dwie tożsamości {{LinkWzór|2.63}} i {{LinkWzór|2.64}}, wtedy dostajemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>dA={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}dx^l\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\right)+\sum^r_{i=1} A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}dx^l\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}+\;</MATH><BR><MATH>-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^{q}}_{lr_i}\left(\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}dx^l\right)\;</MATH>|2.65}}
Jeśli wzór {{LinkWzór|2.65}} podzielimy przez wielkość ''du'', dalej grupując wyrazy w nawiasie, a poza nawiasem umieścimy pochodne wielkości x<sup>l</sup> względem wielkości ''u'' i iloczyn wszystkich wektorów kowariantnych i kontrawariantnych, otrzymamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{dA}\over{du}}=\left({{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1},...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\right){{dx^l}\over{du}}\prod^r_{i=1} e_{k_i}\prod^m_{i=1}e^{r_i}\;</MATH>|2.66}}
A więc pochodna tensorowa wielkości A nazwijmy wyrażenie w nawiasie {{linkWzór|2.66}} względem wielkości x<sup>l</sup>, którą piszemy wedle sposobu poniżej przedstawionej ją za pomocą tensorów Christoffela:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m;l}={{\partial A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{r_q,r_2,r_3,..,r_m}}\over{\partial x^l}}+\sum^r_{i=1}A^{...,k_{i-1},q,k_{i+1}...}_{r_1,r_2,r_3,..,r_m}{\Gamma^{k_i}}_{lq}-\sum^m_{i=1}A^{k_1,k_2,k_3,...,k_r}_{...,r_{i-1},q,r_{i+1},...}{\Gamma^q}_{lr_i}\;</MATH>|2.67}}
Dla tensorów dwu-wskaźnikowych górnych lub dolnych podamy ogólny wzór określony według wzoru {{linkWzór|2.67}}, dla przykładów poniżej:
{{ElastycznyWiersz|1={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{A^{ij}}_{;l}={{\partial A^{ij}}\over{\partial x^l}}+A^{qj}{\Gamma^i}_{lq}+A^{iq}{\Gamma^j}_{lq}\;</MATH>|2.68}}|2={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>A_{ij;l}={{\partial A_{ij}}\over{\partial x^l}}-A_{kj}{\Gamma^k}_{li}-A_{ik}{\Gamma^k}_{lj}\;</MATH>|2.69}}}}
Dla tensora dwuwskaźnikowego górno-dolnego podamy ogólny wzór według wzoru {{linkWzór|2.67}}, które zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{A^i}_{j;l}={{\partial {A^i}_j}\over{\partial x^l}}+{A^{m}}_j{\Gamma^i}_{lm}-{A^{i}}_m{\Gamma^{m}}_{lj}\;</MATH>|2.70}}
 
==Własności tensora metrycznego==
Możemy przekształcić tensor kontrawariantny na tensor kowariantny z własności tensora metrycznego prostego, które możemy napisać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>V_{i}=g_{ik} V^{k}\;\;</MATH>|2.71}}
Także możemy zróżniczkować tensorowo obustronnie dane równanie {{linkWzór|2.71}} wykorzystując przy okazji wzór na pochodną tensorową iloczynu wedle schematu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>V_{i;j}=g_{ik;j}V^{k}+g_{ik}{V^{k}}_{;j}\;\;</MATH>|2.72}}
Jeśli dodatkowo zauważymy, że powinno zachodzić z własności tensora metrycznego przy niemym wskaźniku &mu;, przy operacjach na wskaźnikach:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g_{ik}{V^{k}}_{;j}=V_{i;j}\;\;</MATH>|2.73}}
Równość {{LinkWzór|2.72}} do której zastosujemy tożsamość tensorową {{linkWzór|2.73}}, którą zapisujemy z własności tensora metrycznego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>V_{i;j}=g_{ik;j}V^{k}+V_{i;j}\;\;</MATH>|2.74}}
Patrząc na wzór {{linkWzór|2.74}} i aby ona była tożsamością, to powinno na pewno zachodzić wyrażenie poniżej, czyli dowolna pochodna kowariantna tensora metrycznego podwójnie kowariantnego byłaby zapisywana według tożsamości:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g_{ik;j}=0\;\;</MATH>|2.75}}
 
==Wyznaczanie symboli Christoffela==
Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa wzorowi {{LinkWzór|2.75}}, to wykorzystując przy okazji wzór {{linkWzór|2.69}}, możemy powiedzieć, że:
{{ElastycznyWiersz|1=<strong>(j,r,l)-></strong>|2={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}-{\Gamma^k}_{lj}g_{kr}-{\Gamma^k}_{lr}g_{jk}=0\;\;</MATH>|2.76}}|_1=width:auto;}}
Poprzez permutację wskaźników we wzorze {{linkWzór|2.76}} otrzymujemy dwa dalsze równania dostajemy trzy równania z powyższym, z których mamy zamiar wyznaczyć tensor Christoffela:
{{ElastycznyWiersz|1=<Strong>(r,l,j)-></strong>|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{\Gamma^k}_{jr}g_{kl}-{\Gamma^k}_{jl}g_{rk}=0\;\;</MATH>|2.77}}|_1=width:auto;}}
{{ElastycznyWiersz|1=<strong>(l,j,r)-></strong>|2={{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-{\Gamma^k}_{rl}g_{kj}-{\Gamma^k}_{rj}g_{lk}=0\;\;</MATH>|2.78}}|_1=width:auto;}}
Następnie dwa pierwsze równania dodajemy do siebie, a ostatnie od otrzymanego odejmujemy i zastępując wskaźnik niemy przy symbolu Christoffer'a z k na p, dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}-2{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}=0\;\;</MATH>|2.79}}
 
Dzieląc przez dwa oraz mnożąc przez g<sup>kr</sup> tożsamość otrzymaną w punkcie {{LinkWzór|2.79}} przechodzimy do tożsamości:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^p}_{lj}g_{pr}g^{kr}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;</MATH>|2.80}}
Po przekształceniach w punkcie {{linkWzór|2.80}} wykorzystując własności tensora metrycznego, oraz że zachodzi dla tensora metrycznego kontrawiariantno-kowariantnego {{LinkWzór|2.18}}, co ono jest równo delcie Kroneckera, wtedy mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^p}_{lj}{\delta^k}_p={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\Rightarrow{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left({{\partial g_{jr}}\over{\partial x^l}}+{{\partial g_{rl}}\over{\partial x^j}}-{{\partial g_{lj}}\over{\partial x^r}}\right)\;\;</MATH>|2.81}}
Końcowy wynik zapisany w punkcie {{LinkWzór|2.81}} jest zależny od pierwszych pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, a także zależy od tensora metrycznego podwójnie kontrawariantnego tego samego tensora co wcześniej. Dlatego piszemy go wedle sposobności:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{lj}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{jr,l}+g_{rl,j}-g_{lj,r}\right)\;</MATH>|2.82|Obramuj}}
 
==Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kontrawariantnych==
Teraz udowodnimy, że pochodne kowariantne mieszane w przestrzeni nieeuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}\;</MATH>|2.83}}
 
Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu {{LinkWzór|2.39}}, to możemy również zapisać przy innych oznaczeniach podobnie, ale oznaczające to samo:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;</MATH>|2.84}}
Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{linkWzór|2.84}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{;n}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{;l}=\;</MATH><BR><MATH>=\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{,n}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}\right){\Gamma^k}_{nr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH><BR><MATH>-\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{,l}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}\right){\Gamma^k}_{lr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=\left(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l}\right)+a^m\left({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)+a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}\right)=\;</MATH><BR><MATH>=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;</MATH>
|2.85}}
Wyrażenie {{linkWzór|2.83}} wedle obliczeń {{LinkWzór|2.85}} zapisujemy wedle wzoru poniżej wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}={R^k}_{mnl}a^m\;</MATH>|2.86}}
*gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.87|Obramuj}}
 
==Tensor Riemanna-Christoffela dla tensorów kowariantnych==
Teraz udowodnimy, że pochodne mieszane w przestrzeni nieuklidesowej nie są sobie równe, tzn. poniższe wyrażenie nie powinno być równe zero, nie tak jak przy pochodnych cząstkowych, które nie zależą od kolejności różniczkowania:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}\;\;</MATH>|2.88}}
 
Ale wiadomo, że pochodna kowariantna, która jest zapisana wedle schematu {{LinkWzór|2.45}}, może zostać zapisać podobnie z użyciem innych oznaczeń, ale oznaczających to samo:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k;l}= {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_j{\Gamma^j}_{lk}\;</MATH>|2.89}}
Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{linkWzór|2.89}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.88}} możemy zapisać poniżej jako różnicę pochodnych kowariantnych wspomnianego wzoru:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=\left({{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{;n}
-\left({{\partial a_k}\over{\partial x^n}}-a_m{\Gamma^m}_{nk}\right)_{;l}=\;</MATH><Br>
<MATH>=\left[\left( {{\partial a_k}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lk}\right)_{,n}-\left( {{\partial a_r}\over{\partial x^l}}-a_m{\Gamma^m}_{lr} \right){\Gamma^r}_{nk}-\left({{\partial a_k}\over{\partial x^s}}+a_m{\Gamma^m}_{sk}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH><BR>
Linia 261:
<MATH>=\left(a_{k,l,n}-a_{k,n,l}\right)+a_m\left({{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}\right)+a_m\left({\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}\right)\;</MATH>|2.90}}
Wyrażenie {{linkWzór|2.88}} wedle obliczeń {{LinkWzór|2.90}} zapisujemy wedle wzoru poniżej, wstawiając definicję czterowskaźnikowego tensora krzywizny:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>a_{k;l;n}-a_{k;n;l}=-{{R^{m}}}_{knl}a_m\;\;</MATH>|2.91}}
*gdzie definicja czterowskaźnikowego tensora metrycznego jest zapisana przy pomocy tensorów Christoffela, które zapisujemy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{R^{m}}}_{kln}={{\partial {\Gamma^m}_{nk}}\over{\partial x^l}}-{{\partial {\Gamma^m}_{lk}}\over{\partial x^n}}+{\Gamma^m}_{lr}{\Gamma^r}_{nk}-{\Gamma^m}_{nr}{\Gamma^r}_{lk}=-{R^m}_{knl}\;</MATH>|2.92|Obramuj}}
 
==Tensor Riemanna-Christoffela (tensor krzywizny) zdefiniowany przy pomocy tensorów metrycznych==
Do wzoru na czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{LinkWzór|2.87}} wstawiamy za tensory Christoffela zdefiniowane wedle wzoru {{LinkWzór|2.82}}, w końcu otrzymujemy następujący wzór zależny tylko od drugich pochodnych cząstkowych tensora metrycznego, co wykażemy później:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{mr,l,n}+g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{mr,n,l}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,n}\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</math><br><math>-{{1}\over{2}}{g^{kr}}_{,l}\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;\;</MATH>|2.93}}
Ponieważ pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero według schematu {{LinkWzór|2.75}}, to wyznaczając z niego pochodną cząstkową stojącą po lewej stronie tensora metrycznego, a pozostałe po prawej jego stronie, otrzymujemy wielkość:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>0={g^{kr}}_{;n}={g^{kr}}_{,n}+{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\Rightarrow{g^{kr}}_{,n}=-{\Gamma^k}_{ns}g^{sr}-{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\;</MATH>|2.94}}
Czterowskaźnikowy tensor krzwywizny {{LinkWzór|2.93}} po zastosowaniu do niego tożsamości wynikowej {{LinkWzór|2.94}}, możemy zapisać:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ns}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}\right)\left(g_{mr,l}+g_{rl,m}-g_{lm,r}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+
{{1}\over{2}}\left({\Gamma^k}_{ls}g^{sr}+{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}\right)\left(g_{mr,n}+g_{rn,m}-g_{nm,r}\right)+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\Rightarrow\;</math><br><math>\Rightarrow{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ns}{\Gamma^s}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{ls}{\Gamma^s}_{nm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}+\;</MATH><BR><MATH>-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}+{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}\;</MATH>|2.95}}
Następnie wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje według wzoru {{linkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ns}g^{sk}{\Gamma^p}_{lm}g_{pr}={\Gamma_{pn}}^k{\Gamma^p}_{lm}=
{{\Gamma_p}^k}_n{\Gamma^p}_{lm}={\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}\;</MATH>|2.96}}
Dalej wyznaczmy wyrażenie tensorowe, które występuje {{linkWzór|2.25}}, korzystając przy tym z właściwości tensora metrycznego:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^r}_{ls}g^{sk}{\Gamma^p}_{nm}g_{rp}={\Gamma_{pl}}^k{\Gamma^p}_{nm}={\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.97}}
Mając wzór {{LinkWzór|2.95}}, a także tożsamości {{linkWzór|2.96}} i {{LinkWzór|2.97}}, wspomniany czterowskaźnikowy tensor krzywizny możemy zapisać:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)+
{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{np}{\Gamma^p}_{lm}+{{1}\over{2}}{\Gamma^k}_{pl}{\Gamma^p}_{nm}\;</MATH>|2.98}}
Przepisując jeszcze raz końcowy wynik {{LinkWzór|2.98}}, wtedy czterowskaźnikowy tensor krzywizny z tylko pierwszym wskaźnikiem górnym zapisujemy wedle schematu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.99}}
Inny równoważny do {{linkWzór|2.99}} czterowskaźnikowy tensor krzywizny, z wykorzystaniem własności tensora metrycznego, otrzymujemy w postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}=g_{ik}{R^k}_{mnl}=g_{ik}{{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,m,n}-g_{lm,r,n}-g_{rn,m,l}+g_{nm,r,l}\right)\;</MATH>|2.100}}
Czterowskaźnikowy tensor krzywizny o wszystkich wskaźnikach dolnych na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.100}} piszemy natomiast wedle wyobrażeń:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,m,n}-g_{lm,i,n}-g_{in,m,l}+g_{nm,i,l}\right)\;</MATH>|2.101|Obramuj}}
 
==Tensorowy charakter tensora krzywizny==
Z definicji pochodnej tensorowej {{LinkWzór|2.67}} możemy napisać pochodne tensorowe tensora Christoffela w takiej postaci:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{\Gamma^k}_{lm;n}={\Gamma^k}_{lm,n}+{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}-
{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^{k}}_{sm}-{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}\;</MATH>|2.102}}
Tożsamość {{LinkWzór|2.102}} wstawiamy do wzoru {{linkWzór|2.86}} na tensor czterowskaźnikowy krzywizny i otrzymujemy równość, którą zapisujemy wedle schematu:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{sn}{\Gamma^s}_{lm}+{\Gamma^s}_{ln}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^s}_{mn}{\Gamma^k}_{sl}-
{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^k}_{sl}{\Gamma^s}_{mn}-{\Gamma^s}_{ml}{\Gamma^k}_{ns}-{\Gamma^s}_{nl}{\Gamma^k}_{sm}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\;</MATH>|2.103}}
Jak udowodniliśmy czterowskaźnikowy tensor krzywizny {{linkWzór|2.103}} jest zwykłym tensorem, ponieważ występują w nim same tensory, ale w nich nie ma pochodnych cząstkowych, co pierwotnie ten sam tensor zawierał w zdefiniowany w punkcie {{LinkWzór|2.92}}. Można więc na podstawie wspomnianych tychże obliczeń powiedzieć, iż:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{R^k}_{mnl}={\Gamma^k}_{lm;n}-{\Gamma^k}_{mn;l}+{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}-{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}\;</MATH>|2.104|Obramuj}}
 
==Właściwości tensora krzywizny==
Ze względu na przestawienie wskaźników w pierwszej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{linkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny w takim działaniu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)=
-{{1}\over{2}}\left(g_{ml,in}-g_{lm,mn}-g_{mn,il}+g_{ni,ml}\right)=-R_{minl}\;\;</MATH>|2.105}}
 
Ze względu na przestawienie wskaźników w drugiej parze wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{linkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje, że on jest antysymetryczny takim działaniu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)=
-{{1}\over{2}}\left(g_{in,ml}-g_{nm,il}-g_{il,mn}+g_{lm,in}\right)=-R_{imln}\;\;</MATH>|2.106}}
 
Zaś ze względu na przestawienie pierwszej pary wskaźników z drugą parą wskaźników czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}, dochodzimy do wniosku, że takie przestawienie powoduje symetryczność takiego działania:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)=
{{1}\over{2}}\left(g_{nm,li}-g_{ml,ni}-g_{ni,lm}+g_{il,lm}\right)=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.107}}
Stwierdziliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.105}} przy przestawianiu pierwszej pary wskaźników, {{LinkWzór|2.106}} przy przedstawianiu drugiej pary wskaźników i ostatecznie {{LinkWzór|2.107}} przy przedstawieniu pierwszej pary wskaźników z drugą parą otrzymujemy, co następuje:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}=-R_{minl}=-R_{imln}=R_{nlim}\;\;</MATH>|2.108}}
Przejdźmy teraz do następnej tożsamości, korzystając ze wzoru {{LinkWzór|2.101}}. Dochodzimy zatem do wniosku, że ta tożsamość jest równa zero, na co dowód przeprowadzamy poniżej:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mn}-g_{lm,in}-g_{in,ml}+g_{nm,il}\right)+{{1}\over{2}}\left(g_{in,lm}-g_{nl,im}-g_{im,ln}+g_{ml,in}\right)+\;</MATH><BR><MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{im,nl}-g_{mn,il}-g_{il,nm}+g_{ln,im}\right)=0\;\;</MATH>|2.109}}
Na podstawie obliczeń wykonanych w punkcie {{linkWzór|2.109}} przepisując jeszcze raz wynik końcowy, co do czego doszliśmy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl}+R_{ilmn}+R_{inlm}=0\;\;</MATH>|2.110|Obramuj}}
 
==Tożsamość Bianchiego==
Pochodna zwykła cząstkowa tensora krzywizny zdefiniowanego w punkcie {{LinkWzór|2.101}} przyjmuje takową postać w wyglądzie tensorowym:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}={{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)\;\;</MATH>|2.111}}
Policzmy teraz tożsamość poniżej korzystając przy tym z definicji pochodnej cząstkowej czterowskaźnikowego tensora krzywizny, który jest napisana wzorem {{linkWzór|2.111}}.
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=
{{1}\over{2}}\left(g_{il,mnp}-g_{lm,inp}-g_{in,mlp}+g_{nm,ilp}\right)+\;\;</MATH><BR>
<MATH>+{{1}\over{2}}\left(g_{in,mpl}-g_{nm,ipl}-g_{ip,mnl}+g_{pm,inl}\right)+
{{1}\over{2}}\left(g_{ip,mln}-g_{pm,iln}-g_{il,mpn}+g_{lm,ipn}\right)=0\;\;</MATH>|2.112}}
Powyższą tożsamość jest spełniona, ponieważ różniczkowanie jest przemienne i przepisując nasz wniosek w postaci twierdzenia o tensorach, udowadniamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}=0\;\;</MATH>|2.113|Obramuj}}
Zdefiniujmy nowy dwuwskaźnikowy tensor, który jest kombinacją czterowskaźnikowego tensora krzywizny i tensora metrycznego w postaci:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>K_{nl}=g^{im}R_{imnl}\;\;</MATH>|2.114}}
Można udowodnić, że zachodzi na pewno tożsamość podana poniżej; polegająca na tym, że tensor {{LinkWzór|2.114}} jest tensorem antysymetrycznym, tzn. przy zmianie wskaźników miejscami przed tensorem pojawia się znak minus:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>K_{nl}=-K_{ln}\;\;</MATH>.|2.115}}
A dowód {{LinkWzór|2.115}} przeprowadzamy wykorzystując definicję pewnego tensora zdefiniowanego w punkcie {{linkWzór|2.114}} i korzystając przy tym z własności {{linkWzór|2.106}}, dochodzimy do wniosku:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>K_{nl}=g^{im}R_{imnl}=g^{im}(-R_{imln})=-g^{im}R_{imln}=-K_{ln}\;\;</MATH>|2.116}}
Udowodniliśmy, że tensor K<sub>nl</sub> {{linkWzór|2.114}}, jest tensorem antysymetrycznym, tak jak powiedziane zostało wcześniej z własności tensora czterowskaźnikowego krzywizny.
 
Pochodna tensorowa tensora K<sub>nl</sub> zapisanego w punkcie {{LinkWzór|2.114}}, przedstawia się wzorem wedle schematu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}\;\;</MATH>|2.117}}
Następnym naszym krokiem jest policzenie wyrażenia poniżej z wykorzystaniem przy tym tożsamości {{linkWzór|2.117}}. Dzięki temu wiemy, że;
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}-{\Gamma^k}_{np}K_{kl}-{\Gamma^k}_{lp}K_{nk}+K_{pn,l}-{\Gamma^k}_{pl}K_{kn}-{\Gamma^k}_{nl}K_{pk}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{ln}K_{kp}-{\Gamma^k}_{pn}K_{lk}=\;</MATH><BR><MATH>=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}-{\Gamma^k}_{lp}(K_{nk}+K_{kn})-{\Gamma^k}_{np}(K_{kl}+K_{lk})-{\Gamma^k}_{ln}(K_{kp}+K_{pk})=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.118}}
 
Udowodniliśmy, że na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.118}} zachodzi tożsamość, którą udowodniliśmy we wspomnianych obliczeniach:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}\;\;</MATH>|2.119|Obramuj}}
Teraz skorzystamy z definicji K<sub>nl</sub> {{linkWzór|2.114}} i z własności, że pochodna tensorowa tensora metrycznego jest równa zero wedle punktu {{linkWzór|2.75}}, a wtedy lewa strona {{linkWzór|2.119}} jest zapisana wzorem:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>L=K_{nl;p}+K_{pn;l}+K_{lp;n}=(R_{imnl}g^{im})_{;p}+(R_{impn}g^{im})_{;l}+(R_{imlp}g^{im})_{;n}=g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})\;\;</MATH>|2.120}}
A także prawą stronę równości {{LinkWzór|2.119}} zapisujemy:
{{indexWzórCentrujWzór|<MATH>P=K_{nl,p}+K_{pn,l}+K_{lp,n}=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.121}}
 
Dochodzimy do wniosku, że jeśli <MATH>L=P\;</MATH>, czyli wyrażenia {{LinkWzór|2.120}} i {{linkWzór|2.121}} są sobie równe, bo punkt {{linkWzór|2.119}}, mamy:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>g^{im}(R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n})=(R_{imnl}g^{im})_{,p}+(R_{impn}g^{im})_{,l}+(R_{imlp}g^{im})_{,n}\;\;</MATH>|2.122}}
Poniżej traktujemy jako zmienne g<sub>im</sub> i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych, co wtedy
można udowodnić, że na pewno zachodzą własności powiedziana poniżej, bo tensor czterowskaźnikowy krzywizny {{LinkWzór|2.101}} i jego pochodna zawierają w sobie kolejno drugie i trzecie pochodne podwójnie kowariantnego tensora metrycznego względem współrzędnych, co z definicji pochodnej złożonej znana ze szkoły średniej przedstawiamy te własności jako:
{{ElastycznyWiersz|1={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123a}}|2={{indexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial R_{imnl,p}}\over{\partial g^{im}}}=0\;</MATH>|2.123b}}}}
Poniżej traktujemy jako zmienne g<sup>im</sup> i jego pochodne cząstkowe względem współrzędnych.
Z wiadomości pochodzących z analizy matematycznej możemy napisać tożsamość matematyczną, która będą przydatne do dalszych obliczeń w celu maksymalnego uproszczenia tożsamości {{linkWzór|2.122}} wykorzystując udowodnioną tożsamość {{LinkWzór|2.123a}} i {{LinkWzór|2.123b}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>{{\partial (R_{imnl}g^{im})_{,p}}\over{\partial g^{im}}}={{\partial (R_{imnl,p}g^{im}+R_{imnl}{g^{im}}_{,p})}\over{\partial g^{im}}}=R_{imnl,p}\;</MATH>|2.124}}
Zróżniczkujmy obie strony równania tensorowego {{LinkWzór|2.122}} względem g<sup>im</sup>, wtedy otrzymujemy wniosek:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=R_{imnl,p}+R_{impn,l}+R_{imlp,n}\;\;</MATH>|2.125}}
Wcześniej udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość {{LinkWzór|2.113}}. Zatem '''tożsamość Bianchiego''' po zastosowaniu wspomnianej tożsamości do {{linkWzór|2.125}} pozwala na wyciągnięcie końcowego wniosku:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{imnl;p}+R_{impn;l}+R_{imlp;n}=0\;\;</MATH>|2.126|Obramuj}}
 
==Tensor Ricciego==
Definicja tensora Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny o pierwszym wskaźniku górnym {{LinkWzór|2.87}} piszemy wedle schematu:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{ml}={R^k}_{mkl}=R_{lm}\;</MATH>|2.127}}
Powyższe skrajne równości są sobie równe w {{linkWzór|2.127}}. Na tej podstawie możemy udowodnić, korzystając z czterowskaźnikowego tensora krzywizny {{LinkWzór|2.101}}:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{ml}={R^k}_{mkl}=
{{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{rl,mk}-g_{lm,rk}-g_{rk,ml}+g_{km,rl}\right)={{1}\over{2}}g^{kr}\left(g_{km,rl}-g_{rk,ml}-g_{lm,rk}+g_{rl,mk}\right)=R_{lm}\;</MATH>|2.128}}
''Co kończy dowód.''
 
Tensor Ricciego {{LinkWzór|2.127}} zdefiniowany poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny, w której sumowanie następuje po dwóch wskaźnikach niemych, tzn. pierwszym i trzecim, pozwala na narysowanie definicji tego tensora:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R_{ln}=g^{km}R_{klmn}={R^m}_{lmn}\;</MATH>|2.129}}
A skalar Ricciego można zdefiniować poprzez tensor Ricciego {{LinkWzór|2.129}} wedle sposobu podanego poniżej lub inaczej wyrażając w tym samym wzorze tensor Ricciego poprzez czterowskaźnikowy tensor krzywizny:
{{IndexWzórCentrujWzór|<MATH>R=g^{ln}R_{ln}=g^{ln}g^{km}R_{klmn}\;</MATH>|2.130}}
<noinclude>{{kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_tensorowy”