Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

<noinclude>{{SkomplikowanaStronaStart}}</noinclude>

Punktem wyjścia rachunku wariacyjnego jest pewien obrany funkcjonał L, którego argumentami są funkcje specyficzne dla danego problemu. Funkcjonał L ma zwykle postać całki oznaczonej po pewnym przedziale dla funkcji podcałkowej zależącego od argumentu x:

Funkcjonał w rachunku wariacyjnym jest zazwyczaj nieliniowy, tzn. spełnia nierówność:

Funkcjonał napisanej wedle we wzoru {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy po L jest oznaczeniem, że mamy do czynienia z funkcjonałem, w której to w nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.

 

==Wariacje funkcji i funkcjonału==

Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez &delta;y i nazywamy tą wielkość jako różnicę funkcji y₁ i funkcji y, to oznaczamy matematycznie:

Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to, że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co piszemy:

Wariację funkcjonału L, czyli &delta;y definiujemy podobnie jak w przypadku różniczki funkcji df wedle sposobu:

Ostatni człon oznacza resztę, która jest małą wielkością wyższego rzędu, ze względu na przyrost funkcji y

 

==Ekstremum funkcjonału==

Funkcjonał uzyskuje minimum dla funkcji y_o, jeśli funkcjonał funkcji y, czyli L[y] jest większy niż funkcjonał funkcji dla naszej wspomnianej funkcji y_o, czyli L[y_o]:

Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału.

Warunkiem koniecznym istnienia funcjonału jest znikanie funkcjonału L dla tutaj funkcji szukanej y, otrzymujemy:

 

==Równanie Eulera-Lagrange'a==

Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y_o i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y₀ niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y_o+&delta;y Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b, jest równa zero, co matematycznie &delta;y(a)=&delta;y(b)=0 na końcach, w których liczymy naszą całkę {{linkWzór|17.1}}, zatem wariacje &delta;y' i &delta;y są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y^'(x)| i |y₀(x)|, co matematycznie piszemy je dla x&isin;(a,b) równaniami:

Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych &delta;y i &delta;y' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:

Funkcję {{LinkWzór|17.10}} wstawiamy do funkcjonału określonego w punkcie {{LinkWzór|17.1}} i w drugiej całce dokonujemy całkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając, że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego:

\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta ydx+\left({{\partial F}\over{\partial y^'}}\right)\delta y(x)\Bigg|^b_a-\int_a^b{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta ydx\;</MATH>|17.11}}

Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach {{linkWzór|17.11}} znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b), dla której wariacja funkcji y znika.

Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać:

Funkcja podcałkowa w punkcie {{LinkWzór|17.12}} jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego &delta;, zatem w takim przypadku zachodzi równość:

 

==Ekstremum funkcjonału po ustaleniu wiezów na stawiany układ==

Funkcja we funkcjonale L[y] {{linkWzór|17.1}}, w której występuje funkcja F możemy rozszerzyć, gdy nasz badany układ ma pewne więzy, zatem nową funkcję F^* tworzymy pisząc to za pomocą mnożników (czynników) Lagrange'a, zatem ta funkcja:

Mając już nową funkcję {{linkWzór|17.14}} i aby wyznaczyć funkcję szukaną y, należy podstawić tą wspomnianą funkcję do {{linkWzór|17.1}} i w ten sposób możemy określić funkcjonał L^*, i wtedy dla tak obranego funkcjonału możemy wykorzystać na samym końcu wzór {{linkWzór|17.13}} wynikająca zerowania się wariacji funkcjonału F^*, wtedy to równanie różniczkowe możemy wykorzystać do znalezienia naszej szukanej funkcji y(x).