Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 6:
Ideom mechaniki kwantowej jest prowadzenie pewnych operatorów w zamian za wielkości skalarne lub wektorowe w mechanice kwantowej, co wykorzystamy w metodzie kwantyzacji Schwingera.
W mechanice teoretycznej wprowadzono tożsamość na nawiasach Poissona {{linkWzór|8.22|Mechanika_teoretyczna/Kanoniczne_metody_mechaniki_klasycznej|MT}}, dzięki której możemy udowodnić tożsamość, którą przestawimy wzorem {{linkWzór|8.28|Mechanika_teoretyczna/Kanoniczne_metody_mechaniki_klasycznej|MT}}, które jeszcze raz tutaj powtórzymy:
{{
W mechanice kwantowej jest podobny wzór {{LinkWzór|12.5|Mechanika_kwantowa/Równanie_Ehrenfesta}}, które jest to równania Ehrenfesta, które dla funkcji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} piszemy jako pochodna zupełna tejże funkcji względem czasu:
{{
*gdzie: {{Formuła|<MATH>\hat{H}\;</MaTh>}} jest to hamiltonian (operator energii całkowitej układu lub cząstki) według mechaniki kwantowej.
Równania kwantowe propagacji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MAth>}} {{LinkWzór|31.2}} można otrzymać z równań klasycznych propagacji funkcji F {{LinkWzór|31.1}} poprzez podstawienie według zasady:
{{
Jeśli mamy lagrangian, to utwórzmy o nie oznaczoną całkę działania według schematu:
{{
Naapiszmy wariancję S podanej według definicji {{LinkWzór|31.4}} rozpisując ją według przepisu:
{{
Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:
{{
We wzorze {{LinkWzór|31.5}} drugi wyraz znika, bo zachodzi {{LinkWzór|31.6}}, a jego pierwszy wyraz nie znika, bo w mechanice kwantowej są to punkty ruchome, ponieważ w punktach końcowych i początkowych wariacja {{Formuła|<MATH>\delta q_m\;</MATH>}} nie zeruje się nigdy, natomiast w mechanice klasycznej (po pominięciu efektów kwantowych) rozważana wariacja znika, tą naszą zasadę wariacji nazywamy '''kwantową zasadą wariacyjną Schwingera''', to wyrażenie na wariację funkcjonału S przyjmuje dla naszego przypadku postać:
{{
Ale funkcje {{Formuła|<MATH>G_{q_m}(t)\;</MATH>}} patrząc na równania {{LinkWzór|31.5}}, a także na {{LinkWzór|31.7}}, są w postaci:
{{
Policzmy dla dowolnej funkcji F(q) nawias Poissona:
{{
Odpowiednikiem nawiasu Poissona według {{Formuła|<MATH>\{F,G_q\}_P\;</MATH>}} w mechanice kwantowej jest operator napisany jako {{Formuła|<MATh>-{{i}\over{\hbar}}[F,\hat{G}_q]\;</MATH>}}, bo {{LinkWzór|31.3}}, zatem możemy napisać na postawie {{LinkWzór|31.9}}, ale kwantowo.
{{
Jeśli {{Formuła|<MATH>F(q_i)=\hat{q}_i\;</MATH>}}, to według {{LinkWzór|31.10}}, korzystając przy okazji jednocześnie z komutacji operatorów współrzędnych położenia i pędu {{LinkWzór|6.6|Mechanika_kwantowa/Komutacja_operatorów_fizycznych}}, możemy przejść do obliczeń na liczbach ogólnych:
{{
A więc otrzymaliśmy tożsamość, tzn. doszliśmy do tego, że skrajnie lewa i skrajnie prawa strona wyprowadzenia {{LinkWzór|31.11}} są sobie równe, a więc zasada {{LinkWzór|31.10}} jest poprawnie skonstruowane.
Dla układu cząstek zachodzi operator w mechanice kwantowej (operatorowo):
{{
A więc, jeśli {{Formuła|<MATH>F(p_iq_i)=\hat{q_i}\;</MATH>}}, to wariacja funkcji F napisaną wzorem {{linkWzór|31.10}} jest napisana według praw mechaniki kwantowej dotyczące komutacji pewnych operatorów według obliczeń:
{{
Napiszemy sobie funkcję G<sub>p</sub>, która jest zdefiniowana w reprezentacji pędowej w analogii do G<sub>q</sub>, którego to definiujemy w reprezentacji położeniowej podanych w punkcie {{linkWzór|31.12}}:
{{
A także podamy wzór na wariację operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}(p)\;</MATH>}}, którego definicja jest podana przy pomocy komutatora:
{{
Udowodniając wzór {{LinkWzór|31.15}} przy pomocy nawiasów Poissona według mechaniki klasycznej można wykazać:
{{
Zamienimy nawias Poissona na komutator w {{LinkWzór|31.16}}, według zasady {{LinkWzór|31.3}}.
W ten sposób udowodniliśmy na podstawie {{LinkWzór|31.16}}, że wyrażenie {{LinkWzór|31.15}} jest zupełną prawdą.
A teraz zdefiniujmy nowy operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, który można otrzymać z poprzednich operatorów {{Formuła|<MATH>G_q\;</MATH>}}, {{Formuła|<MATH>G_{p}\;</MATH>}} definiując go wedle:
{{
Jeśli mamy funkcję F(pq), to jej wariację możemy zdefiniować wedle zasady:
{{
Według mechaniki klasycznej na nawiasach Poissona, jeśli zdefiniujemy G {{linkWzór|31.17}}, czyli jako sumę wyrażeń {{LinkWzór|31.12}} i {{LinkWzór|31.14}}, to można przejść do właściwego sedna dowodu na nawiasach Poissona:
{{
\left({{\partial F}\over{\partial q}}\delta q+{{\partial F}\over{\partial p}}\delta p\right)=\delta F(p,q)\;</MATH>|31.19}}
Ze wzoru {{LinkWzór|31.18}} można przejść od wzoru {{linkWzór|31.19}} poprzez zastąpienie wyrażenia, który jest nawiasem Poissona jej odpowiednikiem kwantowym wedle zasady {{linkWzór|31.3}}.
Jeśli w mechanice kwantowej zachodzi relacja {{Formuła|<MATH>\hat{F}(p_iq_i)=\hat{q}_i\;</MATH>}}, to możemy napisać:
{{
-{{i}\over{\hbar}}\sum_j i\hbar\delta_{ij}\delta \hat{q}_j=\delta \hat{q}_i\;</MATH>|31.20}}
Na podstawie dowodu {{linkWzór|31.20}} udowodniliśmy, że zachodzi tożsamość, według zasady {{linkWzór|31.18}} otrzymaliśmy czego się spodziewaliśmy.
Linia 62:
Znając gęstość Lagrangianu policzymy czemu jest równy operator Schwingera w "pędowej" i "położeniowej" reprezentacji i policzymy komutatory będących kombinacją tychże wielkości według naszej zasady wariacyjnej.
Gęstość Lagrangianu {{Formuła|<MATH>\mathfrak{L}\;</MATH>}} z definicji gęstości lagrangianu dla teorii Kleina-Gordona, która jest napisana w punkcie {{LinkWzór|26.24|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, co jego definicję tutaj przepiszemy:
{{
Napiszmy funkcjonał S, który jest całką z gęstości Lagrangianu {{LinkWzór|31.21}} względem współrzędnych czasoprzestrzennych:
{{
Policzmy wariacje funkcjonału δS według wzoru podanego w punkcie {{LinkWzór|31.22}} wykorzystując przy tym definicję o pochodnej iloczynu:
{{
Wykonajmy częściowe całkowanie drugiego wyrażenia, który jest przestawiony we wzorze wyrażenia w {{LinkWzór|31.23}} poprzez części względem współrzędnych przestrzennych:
{{
W powyższych obliczeniach wykorzystano, że wariacja δΦ w punktach końcowych znika względem współrzędnych przestrzennych.
Wykonajmy całkowanie przez części pierwszego wyrażenia w {{LinkWzór|31.23}} względem czasu:
{{
Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru {{LinkWzór|31.23}}, to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji:
{{
Pierwszy składnik sumy w {{LinkWzór|31.24}} jest to równanie relatywistyczne mechaniki kwantowej {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i dlatego według powyższej tożsamości po skorzystaniu z tychże omówień możemy powiedzieć:
{{
*gdzie funkcja pola "pędu" określamy jako pochodna cząstkowa funkcji "położenia" względem czasu:
{{
W reprezentacji pędowej, podobnie jak w {{LinkWzór|31.25}}, definiujemy jako całkę z iloczynu funkcji położenia i wariacji funkcji "pędu" z dokładnością do stałej, którą jest odwrotność prędkości światła:
{{
Zastępując funkcję Φ przez operator położenia {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, a Π przez operator pędu {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}}, otrzymujemy wzory na operatory {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Pi}\;</MATH>}}, których definicja jest przestawiona w postaci całkowania względem współrzędnych przestrzennych:
{{ElastycznyWiersz|1={{
Mając operator Schwingera {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} możemy napisać, że wariacja operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} jest równa wyrażeniu zbudowanej przy pomocy komutatora w sposób:
{{
Policzmy wariancję {{Formuła|<MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH>}} kładąc {{Formuła|MATH>\hat{F}(\hat{\Phi})=\hat{\Phi}\;</MATH>}}, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}}, a pędu operator "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}}, korzystając z faktu {{LinkWzór|31.28}}, a także {{linkWzór|31.30}}, jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH>}} są nawzajem przemienne.
{{
Równość {{LinkWzór|31.31}} jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.
{{
Możemy wykorzystać {{LinkWzór|31.32}} i udowodnić stwierdzenie {{LinkWzór|31.31}}, który jest pewnym komutatorem, by dojść potem do tożsamości:
{{
Zdefiniujemy nowy operator {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}}, który możemy przestawić jako sumę operatorów w reprezentacji położeniowej {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Phi}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.28}} i pędowej {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\Pi}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.29}}, jako:
{{
Ogólnie mamy według zasady {{LinkWzór|31.18}} możemy napisać wariację operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}}, którego definicja jest:
{{
Podstawiając za {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\hat{\Phi}}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.28}} i za {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\hat{\Pi}}\;</MATH>}} {{linkWzór|31.29}} we {{linkWzór|31.34}}, a także przyporządkujemy za funkcję {{Formuła|<MATH>\hat{F}(\hat{\Phi},\hat{\Pi})\;</MATH>}} operator położenia, czyli napiszemy jego definicję {{Formuła|<MATH>\hat{F}(\hat{\Phi},\hat{\Pi})=\hat{\Phi}\;</MATH>}}, na podstawie {{linkWzór|31.35}} możemy dojść do wniosku:
{{
By tożsamość {{LinkWzór|31.36}} była spełniona, to powinny być spełnione tożsamości na operatorach "położenia", a podobnie zachodzi na operatorach "pędu":
{{ElastycznyWiersz|1={{
==Zasada wariacyjna, a pole Diraca==
Całkę działania w teorii wariacyjnej możemy zapisać dla mechaniki kwantowej Diraca, jeśli skorzystamy przy tym z definicji gęstości Lagrangianu, którego definicji jest podana w punkcie {{LinkWzór|26.43|Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a}} dla mechaniki kwantowej Diraca, naszą wspomnianą całkę działania przy pomocy tej ostatniej wielkości możemy przepisać w postaci:
{{
Następnie policzmy wariację działania S względem funkcji własnej równania własnego Diraca zależnego od czasu, czyli funkcji ψ, korzystając z definicji funkcjonału {{LinkWzór|31.39}}:
{{
Pierwszy składnik w {{LinkWzór|31.40}} możemy rozpisać przy wykorzystaniu definicji operatora {{Formuła|<MATH>\gamma^{\mu}\;</MATH>}} {{linkWzór|26.37|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}.
{{
{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\beta{{\partial}\over{\partial t}}(\delta\psi)+{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\overline{\psi}\beta\alpha\nabla(\delta\psi)\;</MATH>|31.41}}
Dokonajmy całkowania pierwszej całki występujące w obliczeniach {{LinkWzór|31.41}} poprzez całkowanie przez części:
{{
\overline{\psi}\beta{{\partial}\over{\partial ct}}(\delta\psi)={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{i\hbar}\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1{{\partial\overline{\psi}}\over{\partial t}}\hat{\beta}(\delta\psi)\;</MATH>|31.42}}
Dokonajmy całkowania drugiej całki występujące w obliczeniach {{LinkWzór|31.41}} przez części, zatem:
{{
W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że {{Formuła|<MATH>\delta\Phi\;</MATH>}} znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać.
Wyrażenie {{LinkWzór|31.41}}, przy pomocy obliczeń {{LinkWzór|31.42}} i {{LinkWzór|31.43}}, piszemy:
{{
-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi\;</MATH>|31.44}}
Następnie wstawiamy wyrażenie {{LinkWzór|31.44}} do wariancji funkcjonału {{LinkWzór|31.40}}, mamy:
{{
{{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}
-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left(i\hbar c\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\delta\psi\right)\;</MATH>|31.45}}
Drugi wyraz w {{LinkWzór|31.45}} jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej {{LinkWzór|26.35|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":
{{ElastycznyWiersz|1={{
Operatorowo zastępując wielkości klasyczne jej wielkościami operatorowymi, tzn. zastępujemy ψ operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} a ψ<sup>+</sup> operatorem "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, wtedy możemy napisać operatory Schwingera, tzn. {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi}\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\hat{G}_{\psi^+}\;</MATH>}}, które są całkami zbudowanej na operatorach "pedu" i "położenia" względem współrzędnych położenia w czteroprzestrzeni:
{{ElastycznyWiersz|1={{
Napiszmy operator Schwingera w następującej postaci przy definicjach odpowiedników operatorowych do {{LinkWzór|31.48}} i {{LinkWzór|31.49}}, zatem:
{{
Napiszmy zasadę wariacyjną w mechanice kwantowej Diraca przy pomocy operatora {{Formuła|<MATH>\hat{F}\;</MATH>}} i definicji operatora {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}} podaną w punkcie {{LinkWzór|31.50}}:
{{
Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|31.18}}, który jest słuszny również tutaj przy definicji {{linkWzór|31.50}}, i biorąc funkcje {{Formuła|<MATH>\hat{F}=\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)\;</MATH>}} korzystając z założenia, że operatory {{Formuła|<MATH>\hat{\psi}\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\delta \hat{\psi}\;</MATH>}} antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej {{Formuła|<MATH>\hat{G}\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.50}} wniosek:
{{
\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)
\;</MATH>|31.52}}
We obliczeniach {{LinkWzór|31.52}} zauważamy, że zachodzą wnioski antykomutacyjne na operatorach "pędu" i "położenia", to przepisy tychże antykomutatorów są:
{{ElastycznyWiersz|1={{
Wtedy wyrażenie {{LinkWzór|31.52}} przy pomocy {{LinkWzór|31.53}} możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:
{{
Dalej, gdy obierzemy inny operator {{Formuła|<MATH>\hat{F}_{\alpha}=\hat{\psi}^+\;</MATH>}}, możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością:
{{
\;</MATH>|31.56}}
W obliczeniach {{linkWzór|31.56}} nalezy wykorzystać warunek {{LinkWzór|31.54}} i na jej podstawie wynika też tożsamość:
{{
==Własności operatorów kreacji i anihilacji, a pole Kleina-Gordona==
Napiszmy rozwiązanie równania pola Kleina-Gordona i jego sprzężenie zespolone, przepisy ich są:
{{ElastycznyWiersz|1={{
Wstawiamy równanie {{LinkWzór|31.58}} do równania pola Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} dla przestrzeni trójwymiarowej, otrzymujemy:
{{
\omega_k^2=k^2c^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|31.60}}
Założymy, że cząstka znajduje się w sześcianie o długości jakiegoś jednego bogu równym L.
Warunkami brzegowymi dla naszego przypadku są to przepisy zapisane jako:
{{ElastycznyWiersz|1={{
Wszystkie te trzy warunki tzn. {{LinkWzór|31.61}}, {{LinkWzór|31.62}} oraz {{LinkWzór|31.63}} sprowadzają się do jednego równania dla współrzędnej j-tej wektora położenia dla j=1,2,3:
{{
Wektor falowy, na podstawie obliczeń {{LinkWzór|31.64}}, możemy przestawić w postaci ogólnego wzoru przy pomocy trójki liczb całkowitych podanej też w tej linijce:
{{ElastycznyWiersz|1={{
Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, możemy napisać w bazie na funkcjach {{Formuła|<MATH>\Phi(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.71}}, {{Formuła|<MATH>\Phi^{*}(\vec r,t)\;</MATH>}} {{LinkWzór|31.72}}, przyjmuje postać:
{{
Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" {{LinkWzór|31.26}}, co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując {{LinkWzór|31.67}} względem czasu, stąd:
{{
W {{LinkWzór|31.67}} i {{LinkWzór|31.68}} uważaliśmy za pewne funkcje {{Formuła|<MATH>\Phi(\vec{r},t)\;</MATH>}} i {{Formuła|<MATH>\dot{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH>}} jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH>}} oraz {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH>}}, którego definicję podamy najpierw dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</math>}} zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.67}} zastępując przy okazji b<sup>+</sup> i b<sup>-</sup> przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek:
{{
A później dla operatora {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH>}} zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.68}} zastępując w nim przy okazji b<sup>+</sup> i b<sup>-</sup> przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać:
{{
Operator {{LinkWzór|31.69}} mnożymy przez {{Formuła|<MATH>\omega_k\;</MATH>}}, a {{LinkWzór|31.70}} przez jednostkę urojoną {{Formuła|<MATH>i\;</MATH>}}, następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań:
{{
\omega_t\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)=\left({{4m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L^3}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sum_k\hat{b}^{+}_k\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k)
\end{cases}\;</MATH>|31.71}}
Pomnóżmy pierwszą równość układu równań {{LinkWzór|31.71}} przez: {{Formuła|<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>}}, a drugą przez: {{Formuła|<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>}}, dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując:
{{
\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(i\vec{k}^'\vec{r}-i\omega_{k^'} t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)=\left({{4L^3 m_0c^2\omega_k}\over{\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\hat{b}^{+}_k
\end{cases}\;</MATH>|31.72}}
Przy obliczeniach {{LinkWzór|31.72}} w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności:
{{
Z układu równań {{LinkWzór|31.72}} można otrzymać układ równań na operatory kreacji {{Formuła|<MATH>\hat{b}^+\;</MATH>}} i anihilacji {{Formuła|<MATH>\hat{b}^-\;</MATH>}} w zależności od operatorów "położenia" {{Formuła|<MATH>\hat{\Phi}\;,</MATH>}} i "pędu" {{Formuła|<MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>}} w postaci układu dwóch równań:
{{
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Policzmy teraz komutator {{Formuła|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k'}]\;</MATH>}} korzystając z układu równań {{LinkWzór|31.73}}:
{{
Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:
{{
Wyrażenie {{LinkWzór|31.74}}, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie {{LinkWzór|31.75}}, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne {{linkWzór|31.32}}, {{linkWzór|31.37}} i {{linkWzór|31.38}}, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:
{{
<MATH>={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L^3\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}
Gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że mamy {{Formuła|<MATH>k\neq k^'\;</MATH>}}, to otrzymujemy tożsamość:
{{
Ale gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że zachodzi: {{Formuła|<MATH>k=k^{'}\;</MATH>}}, to na pewno otrzymujemy:
{{
Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. {{linkWzór|31.77}} i {{LinkWzór|31.78}} dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady:
{{
Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów {{linkWzór|31.73}}:
{{
<MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec r,t),\hat{\Phi}(\vec r^',t)]+\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\Bigg\{\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+\;</MATH><BR><MATH>+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\Bigg\}={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')-ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^') \right\}={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot(\omega_{k^'}-\omega_k)={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.80}} wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:
{{
Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:
{{
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.82}} wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu:
{{
W tym rozdziale otrzymaliśmy ogólne prawa komutacyjne operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów, które podaliśmy z dowodami, ale innym sposobami niż w rozdziale [[Mechanika_kwantowa/Wprowadzenie_do_interpretacji_fizycznych_operatorów#Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów|"Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów"]].
<noinclude>{{
|