Wikibooks

Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 13:
W równaniu {{LinkWzór|28.5}} przenieśmy wyraz po prawej stronie na lewą, a drugi wyraz z lewej strony na jej prawą, otrzymujemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\left(\nabla^2+k_0^2\right)\psi(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.6}}
Porównując równanie {{LinkWzór|28.6}} z {{LinkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, otrzymujemy wzory na dwie tożsamości:
{{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>K(\vec{r})=U(\vec{r})\psi(\vec{r})\;</MATH>|28.7}}|{{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}=\nabla^2+k_0^2\;</MATH>|28.8}}}}
Według mechaniki kwantowej i rachunku zaburzeń całkowita funkcja własna operatora energii jest równa sumie funkcji własnej stanu niezaburzonego (to jest funkcja własna operatora energii kinetycznej) i stanu zaburzonego i zapisujemy ją w sposób:
Linia 19:
Jeśli zaburzenie jest małe, to w niektórych przypadkach możemy zapisać:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r})\simeq \psi_0(\vec{r})\;</MATH>|28.10}}
Mamy sobie równanie {{LinkWzór|28.6}}, które możemy porównać ze wzorem {{linkWzór|20.1|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, stąd dochodzimy do wniosku {{linkWzór|28.7}}, wykorzystując przy tym fakt, że funkcja własna operatora energii jest {{linkWzór|7.118|Mechanika_kwantowa/Postulat_drugi_mechaniki_kwantowej}}, wiedząc, że w nim zachodzi przybliżenie {{linkWzór|28.10}}, wtedy możemy napisać funkcję {{linkWzór|28.9}}, która zależy od funkcji Greena:
{{CentrujWzór|<MATH>\psi(\vec{r})=e^{i\vec{k}_0\vec{r}}+\int U(\vec{r}^')e^{i\vec{k}_0\vec{r}^'}G(\vec{r},\vec{r}^')d^3\vec{r}\;</MATH>|28.11}}
Wyznaczmy funkcję Greena występującego w równaniu {{LinkWzór|28.11}} według jego definicji {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} i delty Diraca w przestrzeni jednowymiarowej {{LinkWzór|14.39|Metody_matematyczne_fizyki/Wstęp_do_transformacji_Fouriera|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, w której będziemy mogli napisać operator {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} {{LinkWzór|28.8}} dla przestrzeni trójwymiarowej, także wymnażać będziemy funkcję Diraca dotyczące każdej współrzędnej względem siebie, by otrzymać:
{{CentrujWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')=\hat{O}^{-1}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^')=\;
{{1}\over{(2\pi)^3}}\int d^3\vec{k}\hat{O}^{-1}e^{i\vec{k}(\vec{r}-\vec{r}^')}=
Linia 60:
 
==Funkcja Greena a zmodyfikowane pole Kleina-Gordona==
Gęstość Lagrangianu {{LinkWzór|26.24|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} uzupełnijmy o dodatkowy wyraz wprowadzając źródło nowych fal, wtedy go napiszemy:
{{CentrujWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\partial_{\mu}\psi\partial^{\mu}\psi-{{1}\over{2}}{{m^2_0c^2}\over{\hbar^2}}\psi^2+J\psi\;</MATH>|28.20}}
Powyższe wyrażenie możemy podstawić do równania Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, w tym celu pochodne {{LinkWzór|26.26|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i {{LinkWzór|26.27|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} są takie same dla {{LinkWzór|26.24|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} jak dla {{LinkWzór|28.20}} tylko jedyna różnica jest dla pochodnej {{LinkWzór|26.28|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, który tutaj wynosi:
{{CentrujWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi+J\;</MATH>|28.21}}
Obliczone pochodne wstawiamy do równania Eulera-Lagrange'a dostając równanie ruchu:
{{CentrujWzór|<MATH>\partial_0^2\psi-\partial_k^2\psi+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\psi-J=0\Rightarrow \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}=-J\;</MATH>|28.22}}
Możemy wykorzystać definicję delambercjanu w {{LinkWzór|28.22}}, wtedy rozważane równanie różniczkowe jest bardzo podobne do równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.31|Mechanika kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, bo w tym równaniu zachodzi {{Formuła|<MaTH>J(\underline{x})\equiv 0\;</MATH>}}, a w naszym przypadku ten wyraz jest różny od zera, zapisujemy w formie:
{{CentrujWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.23}}
Równanie {{LinkWzór|28.23}} jest bardzo podobne do równania operatorowego {{LinkWzór|28.1}}, gdzie definicja operatora {{Formuła|<MATH>\hat{O}\;</MATH>}} i funkcji {{Formuła|<MATH>K(\underline{x})\;</MATH>}} jest zarysowana:
{{ElastycznyWiersz|{{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}=\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\;</MATH>|28.24}}|{{CentrujWzór|<MATH>\hat{O}K(\underline{x})=-J(\underline{x})\;</MATH>|28.25}}}}
Zatem równanie na funkcję Greena według równości {{LinkWzór|20.5|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}, którego definicja dla naszego przypadku przestawiamy wzorem:
{{CentrujWzór|<MATH>\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)G(\underline{x},\underline{x}^')=\delta^4(\underline{x}-\underline{x}^')\;</MATH>|28.26}}
Aby policzyć bezpośrednio funkcję Greena należy wykorzystać równanie {{LinkWzór|20.4|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}} oraz całkę na funkcję Diraca dla przestrzeni czerowymiarowej:
{{CentrujWzór|<MATh>G(\underline{x},\underline{x}^')={{1}\over{(2\pi)^4}}\int \hat{O}^{-1}e^{ik(\underline{x}-\underline{x}^')}=
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\hat{O}e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}={{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{1}\over{\left(\square-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)e^{-i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}}=\;</MATH><BR><MATH>=
Linia 78:
{{1}\over{(2\pi)^4}}\int d^4\underline{k}{{e^{i\underline{k}(\underline{x}-\underline{x}^')}}\over{k^2-{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}}}\;</MATH>|28.27}}
W powyższym oznaczeniu funkcji Greena przyjęto:{{Formuła|<MATH>\underline{k}\underline{x}=k_{\mu}x^{\mu}\;</MATH>}}.
Jeśli już mamy policzoną funkcję Greena {{LinkWzór|28.27}} oraz wyznaczone równania różniczkowego niejednorodne {{LinkWzór|28.23}} dla J=0, to całkowite rozwiązanie równania różniczkowego jest wedle {{LinkWzór|20.7|Metody_matematyczne_fizyki/Funkcje_Greena|nazwa książki=Metody_matematyczne_fizyki|MMF}}.
<noinclude>{{Kreska nawigacja|{{AktualnaKsiążka}}|{{NastępnyArtykuł}}|{{PoprzedniArtykuł}}}}</noinclude><noinclude>{{SkomplikowanaStronaKoniec}}</noinclude>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Funkcje_Greena_w_teorii_kwantów”