Matematyka dla liceum/Logika/Kwantyfikatory: Różnice pomiędzy wersjami

<includeonly>= Kwantyfikatory =</includeonly>

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy {{math|0}}” możemy zapisać krócej <math> \forall_{x \in \mathbb{R}}\ x^2 \geq 0 </math>. Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od {{math|0}}”, możemy zapisać <math> \forall_{n \in \mathbb{Z_+}}\ n^3 > 0 </math> (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez <math> \mathbb{Z_+}) </math>. Zdanie to przeczytamy „dla każdego {{math|x}} należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od {{math|0}}”. Podamy teraz formalną definicję.

 

{{Mat:Def|1=

'''Kwantyfikator ogólny''' oznaczamy przez <math> \forall_x </math>, mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego {{math|x}}. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem dużym''' lub '''kwantyfikatorem uniwersalnym'''.}}

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi {{math|0}}. Jest to tylko jedna liczba -- samo {{math|0}}. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi {{math|0}}” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: <math>\exists_{x \in \mathbb{R}}\ x^2=0 </math>. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba {{math|x}} należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi {{math|0}}”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako <math> \exist )</math> nazywany jest '''kwantyfikatorem szczegółowym'''.

 

{{Mat:Def|

'''Kwantyfikator szczegółowy''' oznaczamy przez <math> \exist_x </math>, mówi on, że istnieje takie ''x'', dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także '''kwantyfikatorem małym''' lub '''kwantyfikatorem egzystencjalnym'''.}}

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element {{math|l}} należący do zbioru {{math|L}}, że zdanie {{math|q(l)}}, nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek {{math|l}} należący do zbioru wszystkich ludzi {{math|L}}, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

 

{{Mat:Ciek|

Dosyć często '''kwantyfikator ogólny''' w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez <math> \bigwedge_x </math>(„dla każdego ''x''...”), a '''kwantyfikator szczegółowy''' przez <math> \bigvee_x </math>(„istnieje takie ''x'', że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. <math>\forall</math> pochodzi od '''A'''ll (wszystkie), <math>\exist</math> od '''E'''xists (istnieje).}}