Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Układy równań: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nowa strona: <noinclude> {{Nawigacja|Matematyka dla liceum| Podsumowanie| Ćwiczenia| }}</... |
edycje Piotr'a |
||
Linia 1:
== Układ równań z dwiema niewiadomymi ==
Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ równań, gdzie mamy dwie niewiadome np. {{math|x}} i {{math|y}}.
Spójrzmy na kilka przykładów układów równań:
* <math>
\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y \\
x - 5 = y
\end{matrix}
\right.</math> (1)
* <math>
\left\{\begin{matrix}
-3x - 6y + 4 = 0 \\
5x - 5 = y
\end{matrix}
\right.</math> (2)
* <math>
\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{2}x + 2 = 3y + x \\
5y - 4x - 5 = y
\end{matrix}
\right.</math> (3)
Rozwiążmy jak zwykle każdy z tych przykładów.
Mamy wiele możliwości rozwiązywania takich równań.
===Metoda podstawiania===
'''Metoda podstawiania''' polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób równanie (1):
: <math>
\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
x - 5 = y & (1.2)
\end{matrix}
\right.</math>
Najpierw wyznaczymy sobie którąś niewiadomą - w tym układzie najlepiej {{math|y}} z (1.2), czyli:
: <math>y = x - 5 \!</math>
i w takiej wersji możemy podstawić do (1.1):
: <math> 2x + 1 = 3 \cdot \left( x-5 \right) \!</math>
: <math> 2x + 1 = 3x - 15 \!</math>
i otrzymujemy:
: <math> x= 16 </math>
Mamy już {{math|x}}. Teraz wystarczy do (1.2) podstawić znaleziony {{math|x}}, więc:
: <math> y = 16 - 5 = 11 </math>.
Odp. <math> x = 16 </math> i <math> y = 11 </math>.
Drugim wariantem w tej metodzie będzie ten - kiedy najpierw wyznaczymy {{math|x}} z (1.1), czyli:
: <math>2x + 1 = 3y</math>
: <math>2x = 3y - 1\ \ /{:} 2</math>
: <math>x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} </math> (1.2')
i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:
: <math> \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} - 5 = y</math>
: <math> \frac{3}{2}y - 5\frac{1}{2} = y</math>
: <math> \frac{3}{2}y - y = 5\frac{1}{2}</math>
: <math> \frac{1}{2}y = 5\frac{1}{2} \ \ /{\cdot} 2</math>
: <math> y = 11 </math>.
Mamy już {{math|y}}. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony {{math|y}}, więc:
: <math> x = \frac{3}{2} \cdot 11 - \frac{1}{2} = \frac{33}{2} - \frac{1}{2} = \frac{32}{2} = 16 </math>.
Odp. <math> x = 16 </math> i <math> y = 11 </math>.
Jak widać, wybór zmiennej którą chcemy wyznaczyć na początku nie wpływa na wynik. Jednak dobrze wybrana zmienna może czasami znacznie ułatwić zadanie i uwolnić nas od konieczności długiego i skomplikowanego liczenia na ułamkach (choć nie zawsze).
===Metoda przeciwnych współczynników===
'''Metoda przeciwnych współczynników''' polega na przekształceniu jednego lub obu równań w taki sposób by współczynniki przy jednej zmiennej miały przeciwne wartości . Rozwiążmy w ten sposób równanie (1):
: <math>
\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
x - 5 = y & (1.2)
\end{matrix}
\right.</math>
Współczynnik przy zmiennej {{math|x}} w równaniu (1.2) powinien mieć wartość -2, czyli:
: <math>x - 5 = y \ \ /{\cdot} -2</math>
: <math>-2x + 10 = -2y \ </math>.
Teraz należy wstawić to do układu:
: <math>
\left\{\begin{matrix}
2x + 1 = 3y & (1.1) \\
-2x + 10 = -2y & (1.2)
\end{matrix}
\right.</math>
i dodać stronami:
: <math> 2x + (-2x) +11 =3y + (-2y) \ </math>
: <math> 11 = y \ </math>
Mamy już {{math|y}}. Teraz wystarczy do (1.1') lub (1.2') podstawić znaleziony {{math|y}}, więc:
: <math> x - 5 = 11 \ </math>
: <math> x = 16 \ </math>
Odp. <math> x = 16 </math> i <math> y = 11 </math>.
== Układ równań z parametrem ==
Rozwiążmy poniższy układ równań. Musimy znaleźć {{math|x}} i {{math|y}}, dla których ten układ jest spełniony.
<math>
\left\{
\begin{matrix}
x - y = 1 \\
x + my = 5
\end{matrix}
\right.
</math>
<math>
\left\{
\begin{matrix}
y = x - 1 \\
x + my = 5
\end{matrix}
\right.
</math>
Podstawiając wyznaczony {{math|y}} do drugiego równania otrzymujemy:
<math>
\left\{
\begin{matrix}
y = x - 1 \\
x + m(x - 1) = 5
\end{matrix}
\right.
</math>
Wyznaczmy {{math|x}}.
: <math> x + m(x - 1) = 5 </math>
: <math> x + mx - m = 5 </math>
: <math> (m + 1)x = m + 5 </math>
Teraz musimy przeanalizować dwa przypadki -- gdy <math> m + 1 \neq 0 </math> lub gdy <math> m + 1 = 0 </math>.
1. Dla <math> m + 1 \neq 0 </math>:
: <math> (m + 1)x = m + 5 \ \ /{:}\ (m + 1) </math>
: <math> x = \frac{m + 5}{m + 1} </math>
Mogliśmy podzielić przez {{math|m + 1}}, ponieważ założyliśmy, że jest różne od {{math|0}}.
Teraz wyznaczymy {{math|y}}.
: <math> y = x - 1 = \frac{m + 5}{m + 1} - 1 = \frac{m + 5 - (m + 1)}{m + 1} = \frac{4}{m + 1} </math>.
2. Dla <math> m + 1 = 0 </math>, inaczej <math> m = -1 </math>:
: <math> (m + 1)x = m + 5 \iff 0x = m + 5 \iff m = -5</math>.
Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ założyliśmy, że <math>m = -1</math>.
Odp. <math> x = \frac{m + 5}{m + 1} </math> i <math> y = \frac{4}{m + 1} </math>.
{{TODO|
*-rozwiązanie graficzne
*-parametr
*-układ - macierz
}}
<noinclude>
{{Nawigacja|Matematyka dla liceum|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Równania liniowe|Równania liniowe]]|
[[Matematyka dla liceum/Funkcja liniowa/Podsumowanie|Podsumowanie]]|
}}</noinclude>
| |||