Teoria grup przemiennych/Wstęp do teorii pierścieni

Strukturę grupy przemiennej można też wzbogacić inaczej niż przez dodatkowy zbiór skalarów i odpowiednie działanie. Można też wprowadzić drugie działanie wewnątrz samej grupy przemiennej; wtedy to pierwsze jest zwykle nazywane dodawaniem, a to drugie – mnożeniem. Tak wzbogaconą grupę przemienną nazywa się pierścieniem, o ile spełnia dwa warunki – to mnożenie jest:

• łączne: (ab)c = a(bc), przez co można pisać po prostu abc; niektórzy lubią nazywać takie struktury półgrupami;
• rozdzielne względem dodawania: a(b+c) = ab + ac, (b+c)a = ba + ca.

Co istotne:

• to mnożenie nie musi być przemienne ani nie musi mieć jedynki. Mówiąc uczenie: pierścień ze względu na mnożenie nie musi być półgrupą przemienną ani monoidem;
• te „bonusowe” własności są dla pierścieni niezależne od siebie – istnieją pierścienie nieprzemienne z jedynką oraz pierścienie przemienne bez jedynki;
• przemienność jest też niezależna od dzielenia – zdarzają się nieprzemienne pierścienie z dzieleniem.

Rola pierścieni

Teoria pierścieni ma dużo bardziej hermetyczne i specjalistyczne znaczenie niż teoria grupy, a tym bardziej niż algebra liniowa. Przez to jest nauczana głównie na studiach matematycznych i nie bez powodu wstęp do niej jest właśnie w tym miejscu, już po wspomnianych dwóch dziedzinach algebry. Flagowym przykładem pierścienia są liczby całkowite (ℤ); pierścienie można traktować jako dalekie uogólnienie liczb całkowitych – zbiory, w których możliwe jest dodawanie, odejmowanie i mnożenie, ale już niekoniecznie dzielenie, za to przynajmniej czasami można mówić o podzielności i dzieleniu z resztą.

Pierścienie pełnią rolę dla teorii grup przemiennych nie tylko jako jej zastosowanie i kontynuacja. Stosują się też do niej samej, jako że dla każdej grupy przemiennej A można skonstruować pierścień endomorfizmów End(A), wspominany już wcześniej. Jest to struktura analogiczna do pierścienia endomorfizmów przestrzeni liniowej L(V). Własności grupy przemiennej wiążą się ściśle z własnościami tego pierścienia.