Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych
λ
{\displaystyle \lambda \;}
A
{\displaystyle \mathbb {A} \;}
d
e
t
[
A
−
λ
I
]
=
0
{\displaystyle det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0\;}
d
e
t
[
−
3
−
λ
4
−
2
1
−
λ
1
6
−
6
5
−
λ
]
=
{\displaystyle det{\begin{bmatrix}-3-\lambda &4&-2\\1&-\lambda &1\\6&-6&5-\lambda \end{bmatrix}}=\;}
=
(
−
3
−
λ
)
(
−
λ
)
(
5
−
λ
)
+
4
⋅
1
⋅
6
+
(
−
6
)
⋅
1
⋅
(
−
2
)
{\displaystyle =(-3-\lambda )(-\lambda )(5-\lambda )+4\cdot 1\cdot 6+(-6)\cdot 1\cdot (-2)\;}
−
(
(
−
2
)
(
−
λ
)
⋅
6
+
(
−
6
)
⋅
1
⋅
(
−
3
−
λ
)
+
1
⋅
4
(
5
−
λ
)
)
=
{\displaystyle -{\Big (}(-2)(-\lambda )\cdot 6+(-6)\cdot 1\cdot (-3-\lambda )+1\cdot 4(5-\lambda ){\Big )}=\;}
szukany wyznacznik macierzy ma postać:
=
−
λ
3
+
2
λ
2
+
λ
−
2
{\displaystyle =-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+\lambda -2\;}
Zatem rozwiązaniem równania:
−
λ
3
+
2
λ
2
+
λ
−
2
=
0
{\displaystyle -\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+\lambda -2=0\;}
są liczby
λ
1
=
1
{\displaystyle \lambda _{1}=1\;}
λ
2
=
−
1
{\displaystyle \lambda _{2}=-1\;}
λ
3
=
2
{\displaystyle \lambda _{3}=2\;}
Rzeczywiste wartości własne
edytuj
Szukamy wektora własnego
C
{\displaystyle \mathbb {C} \;}
λ
1
=
1
{\displaystyle \lambda _{1}=1\;}
[
A
−
λ
1
I
]
⋅
C
=
0
{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}
zatem:
[
−
3
−
λ
4
−
2
1
−
λ
1
6
−
6
5
−
λ
]
⋅
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-3-\lambda &4&-2\\1&-\lambda &1\\6&-6&5-\lambda \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
następnie:
[
−
4
4
−
2
1
−
1
1
6
−
6
4
]
⋅
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-4&4&-2\\1&-1&1\\6&-6&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
co ostatecznie daje układ równań:
{
−
4
u
1
+
4
u
2
−
2
u
3
=
0
u
1
−
u
2
+
u
3
=
0
6
u
1
−
6
u
2
+
4
u
3
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}-4u_{1}+4u_{2}-2u_{3}=0\\u_{1}-u_{2}+u_{3}=0\\6u_{1}-6u_{2}+4u_{3}=0\end{cases}}\;}
Do pierwszego równania dodamy 4 razy drugie równanie. Otrzymamy wówczas
u
3
=
0
{\displaystyle u_{3}=0\;}
u
1
=
u
2
=
s
{\displaystyle u_{1}=u_{2}=s\;}
s
{\displaystyle s\;}
{
u
1
=
s
u
2
=
s
u
3
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}u_{1}=s\\u_{2}=s\\u_{3}=0\end{cases}}\;}
co w zapisie wektorowym wygląda następująco:
U
λ
1
=
1
=
[
s
s
0
]
{\displaystyle U_{\lambda _{1}=1}={\begin{bmatrix}s\\s\\0\end{bmatrix}}\;}
=
s
[
1
1
0
]
{\displaystyle =s{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\;}
Szukamy wektora własnego
C
{\displaystyle \mathbb {C} \;}
λ
2
=
−
1
{\displaystyle \lambda _{2}=-1\;}
[
A
−
λ
2
I
]
⋅
C
=
0
{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{2}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}
zatem:
[
−
3
−
λ
2
4
−
2
1
−
λ
2
1
6
−
6
5
−
λ
2
]
⋅
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-3-\lambda _{2}&4&-2\\1&-\lambda _{2}&1\\6&-6&5-\lambda _{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
następnie:
[
−
2
4
−
2
1
1
1
6
−
6
6
]
⋅
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&4&-2\\1&1&1\\6&-6&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
co ostatecznie daje układ równań:
{
−
2
u
1
+
4
u
2
−
2
u
3
=
0
u
1
+
u
2
+
u
3
=
0
6
u
1
−
6
u
2
+
6
u
3
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}-2u_{1}+4u_{2}-2u_{3}=0\\u_{1}+u_{2}+u_{3}=0\\6u_{1}-6u_{2}+6u_{3}=0\end{cases}}\;}
Od trzeciego równania 6 razy odejmujemy drugie, skąd otrzymujemy
u
2
=
0
{\displaystyle u_{2}=0\;}
u
1
=
−
u
3
=
s
{\displaystyle u_{1}=-u_{3}=s\;}
s
{\displaystyle s\;}
{
u
1
=
s
u
2
=
0
u
3
=
−
s
{\displaystyle {\begin{cases}u_{1}=s\\u_{2}=0\\u_{3}=-s\end{cases}}\;}
co wektorowo zapiszemy jako:
U
λ
2
=
−
1
=
[
s
0
−
s
]
{\displaystyle U_{\lambda _{2}=-1}={\begin{bmatrix}s\\0\\-s\end{bmatrix}}\;}
=
s
[
1
0
−
1
]
{\displaystyle =s{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}}\;}
Szukamy wektorów własnych
C
{\displaystyle \mathbb {C} \;}
λ
3
=
2
{\displaystyle \lambda _{3}=2\;}
[
A
−
λ
3
I
]
⋅
C
=
0
{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{3}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}
zatem:
[
−
3
−
λ
3
4
−
2
1
−
λ
3
1
6
−
6
5
−
λ
3
]
⋅
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-3-\lambda _{3}&4&-2\\1&-\lambda _{3}&1\\6&-6&5-\lambda _{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
następnie:
[
−
5
4
−
2
1
−
2
1
6
−
6
3
]
⋅
[
u
1
u
2
u
3
]
=
[
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-5&4&-2\\1&-2&1\\6&-6&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}\;}
co ostatecznie daje układ równań:
{
−
5
u
1
+
4
u
2
−
2
u
3
=
0
u
1
−
2
u
2
+
u
3
=
0
6
u
1
−
6
u
2
+
3
u
3
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}-5u_{1}+4u_{2}-2u_{3}=0\\u_{1}-2u_{2}+u_{3}=0\\6u_{1}-6u_{2}+3u_{3}=0\end{cases}}\;}
Od trzeciego równania odejmujemy 3 razy równanie drugie, co daje nam
u
1
=
0
{\displaystyle u_{1}=0\;}
u
2
=
1
2
u
3
=
s
{\displaystyle u_{2}={\frac {1}{2}}u_{3}=s\;}
s
{\displaystyle s\;}
{
u
1
=
0
u
2
=
s
u
3
=
2
s
{\displaystyle {\begin{cases}u_{1}=0\\u_{2}=s\\u_{3}=2s\end{cases}}\;}
co wektorowo zapiszemy jako:
U
λ
3
=
2
=
[
0
s
2
s
]
{\displaystyle U_{\lambda _{3}=2}={\begin{bmatrix}0\\s\\2s\end{bmatrix}}\;}
=
s
[
0
1
2
]
{\displaystyle =s{\begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}}\;}
Po nieznacznej modyfikacji opisywanego układu równań otrzymujemy równanie niejednorodne postaci:
{
x
′
(
t
)
=
−
3
x
+
4
y
−
2
z
+
1
y
′
(
t
)
=
x
+
z
+
t
−
1
z
′
(
t
)
=
6
x
−
6
y
+
5
z
−
t
{\displaystyle {\begin{cases}x'(t)=-3x+4y-2z+1\\y'(t)=x+z+t-1\\z'(t)=6x-6y+5z-t\end{cases}}\;}
co w postaci macierzowej zapiszemy jako:
[
x
′
(
t
)
y
′
(
t
)
z
′
(
t
)
]
=
[
−
3
4
−
2
1
0
1
6
−
6
5
]
[
x
y
z
]
+
[
1
t
−
1
−
t
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-3&&4&&-2\\1&&0&&1\\6&&-6&&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\t-1\\-t\end{bmatrix}}\;}
Znając ogólne rozwiązanie układu jednorodnego, za pomocą metody uzmienniania stałych obliczymy rozwiązanie szczególne układu jednorodnego:
[
x
y
z
]
S
N
=
C
1
(
t
)
[
e
t
e
t
0
]
+
C
2
(
t
)
[
e
−
t
0
−
e
−
t
]
+
C
3
(
t
)
[
0
e
2
t
2
e
2
t
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}_{SN}=C_{1}(t){\begin{bmatrix}e^{t}\\e^{t}\\0\end{bmatrix}}+C_{2}(t){\begin{bmatrix}e^{-t}\\0\\-e^{-t}\end{bmatrix}}+C_{3}(t){\begin{bmatrix}0\\e^{2t}\\2e^{2t}\end{bmatrix}}\;}
Musimy zatem rozwiązać równanie macierzowe zawierające macierz Wrońskiego:
[
e
t
e
−
t
0
e
t
0
e
2
t
0
−
e
−
t
2
e
2
t
]
⋅
[
C
1
′
(
t
)
C
2
′
(
t
)
C
3
′
(
t
)
]
=
[
1
t
−
1
−
t
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{t}&e^{-t}&0\\e^{t}&0&e^{2t}\\0&-e^{-t}&2e^{2t}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}C_{1}'(t)\\C_{2}'(t)\\C_{3}'(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\t-1\\-t\end{bmatrix}}\;}
które sprowadza się do układu trzech prostszych równań:
{
C
1
′
(
t
)
e
t
+
C
2
′
(
t
)
e
−
t
=
1
C
1
′
(
t
)
e
t
+
C
3
′
(
t
)
e
2
t
=
t
−
1
−
C
2
′
(
t
)
e
−
t
+
2
C
3
′
(
t
)
e
2
t
=
−
t
{\displaystyle {\begin{cases}C_{1}'(t)e^{t}+C_{2}'(t)e^{-t}=1\\C_{1}'(t)e^{t}+C_{3}'(t)e^{2t}=t-1\\-C_{2}'(t)e^{-t}+2C_{3}'(t)e^{2t}=-t\end{cases}}\;}
z których wyznaczymy wartości:
{
C
1
′
(
t
)
=
.
.
.
C
2
′
(
t
)
=
.
.
.
C
3
′
(
t
)
=
.
.
.
{\displaystyle {\begin{cases}C_{1}'(t)=...\\C_{2}'(t)=...\\C_{3}'(t)=...\end{cases}}\;}
a następnie:
{
C
1
(
t
)
=
.
.
.
C
2
(
t
)
=
.
.
.
C
3
(
t
)
=
.
.
.
{\displaystyle {\begin{cases}C_{1}(t)=...\\C_{2}(t)=...\\C_{3}(t)=...\end{cases}}\;}
Na koniec skorzystamy ze wzoru znanego z równań różniczkowych liniowych:
X
O
N
=
X
O
J
+
X
S
N
{\displaystyle \mathbb {X} _{ON}=\mathbb {X} _{OJ}+\mathbb {X} _{SN}\;}
Znając rozwiązanie ogólne równania, możemy przejść do rozwiązania problemu Cauchy'ego.
![{\displaystyle det\left[\mathbb {A} -\lambda I\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f423a350c0d51e5cbc33d6fb431431dbc06d0f)
![{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{1}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de02b9adef42d88e338001f1318067f3e2a9185)
![{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{2}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573df50a7ab9a74d6b02bc281878d1e1328434ca)
![{\displaystyle \left[\mathbb {A} -\lambda _{3}I\right]\cdot \mathbb {C} =0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6487632d8647f6de943fd970a04bde1f0aeaac71)
