Analiza matematyczna/Układy równań różniczkowych/Przykład 5.1

Spis treści

Dany jest układ równań:

W zapisie macierzowym powyższy układ wygląda następująco:

Jest to układ równań liniowych jednorodny z trzema niewiadomymi funkcjami , oraz , zależnymi od jednej zmiennej niezależnej .

Wartości własne macierzy współczynników edytuj

Rozwiązanie tego układu zaczniemy od znalezienia wartości własnych   macierzy  :

 

 

szukany wyznacznik macierzy ma postać:

 

 

 

Zatem rozwiązaniem równania:

 

są liczby  ,   oraz  

Rzeczywiste wartości własne edytuj

Szukamy wektorów własnych   odpowiadających rzeczywistej 1-krotnej wartości własnej  .

 

zatem:

 

następnie:

 

co ostatecznie daje układ równań:

 

Z ostatniego równania mamy  . Podstawiając tę wartość do równania pierwszego, otrzymamy, że  , gdzie   jest dowolnym parametrem. Podsumowując, otrzymamy:

 

co w zapisie wektorowym wygląda następująco:

   

Zespolone wartości własne edytuj

Szukamy wektorów własnych   odpowiadających zespolonej 1-krotnej wartości własnej   wraz z rozwiązaniem sprzężonym do niej  .

W poniższych obliczeniach możemy pominąć sprzężoną wartość własną   bez żadnych negatywnych skutków dla wyniku ostatecznego.

 

zatem:

 

 

co ostatecznie daje układ równań:

 

Z drugiego równania wyznaczamy  , gdzie s jest dowolnym parametrem rzeczywistym. Z powyższej zależności oraz z równania pierwszego wyznaczymy współrzędne wektora własnego odpowiadającego parze sprzężonych zespolonych wartości własnych.

 

co w zapisie wektorowym wyrazimy jako