Wikipedysta:Persino/Ciecz doskonała (idealna)

Hydrodynamiką nazywamy taki ruch gazów lub cieczy, które mają charakter makroskopowy. Oznacza to, że ciecz (gaz) będziemy dzielili na bardzo małe fragmenty, w której w tych fragmentach mieści się bardzo duża liczbą cząsteczek. Matematycznie będziemy rozważali małe punkty cieczy, jako nieskończenie małe, a fizycznie to są fragmenty dostatecznie małe w porównaniu z objętością całej cieczy lub gazu. W hydrodynamice będziemy w takim razie rozumowali jako cząstka cieczy, lub też jako punkt cieczy.

Równanie ciągłości i gęstość strumienia cieczy

Równanie ciągłości już wyprowadziliśmy książce z mechaniki teoretycznej w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 10.4), które przepiszemy tutaj dla przejrzystości wykładu, które jest zależna od gęstości cieczy i prędkości przypływu cieczy w danym punkcie w przestrzeni i czasie:

${{\partial \rho } \over {\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\;$

(1)

Równość (1) będziemy możemy rozpisać w równoważnej do niego formie jako wykorzystując twierdzenie o pochodnej iloczynu funkcji skalarnej, która jest gęstością cieczy w danym punkcie, i wektorowej, która jest prędkością cieczy w danym punkcie w przestrzeni i czasu:

${{\partial \rho } \over {\partial t}}+\rho \operatorname {div} {\vec {v}}+{\vec {v}}\operatorname {grad} \rho =0\;$

(2)

Wprowadźmy teraz funkcję ${\vec {j}}\;$ zwaną gęstością strumienia cieczy, która jest iloczynem funkcji skalarnej, która jest gęstością cieczy i prędkości danej cząstki cieczy.

${\vec {j}}=\rho {\vec {v}}\;$

(3)

Równanie ruchu cieczy Eulera

Załóżmy, że mamy układ rozciągły, wykorzystując przy okazji definicje gęstości objętościowej w danym punkcie przestrzeni, jeśli wiadomo, że siły działające na objętość zamkniętą pochodzą od ciśnienia, a także twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa, to z drugiej zasady dynamiki Newtona można napisać:

$\int _{V}dV\rho {{d{\vec {v}}} \over {dt}}=-\int _{S}pd{\vec {S}}\Rightarrow \int _{V}dV\rho {{d{\vec {v}}} \over {dt}}=-\int _{V}\operatorname {grad} {p}dV\Rightarrow \int _{V}dV\left(\rho {{d{\vec {v}}} \over {dt}}+\operatorname {grad} {p}\right)=0\;$

(4)

Końcowe równanie (4) jest słuszne dla dowolnej objętości V, zatem możemy napisać równanie różniczkowe obowiązujące w danym punkcie przestrzeni:

$\rho {{d{\vec {v}}} \over {dt}}=-\operatorname {grad} p\;$

(5)

Z definicji różniczki zupełnej oczywiste jest że pochodna prędkości względem czasu, którą wyrazimy poprzez pochodne cząstkowe prędkości względem czasu i położenia, jest wyrażona przez wzór ostatni poniżej wychodząc od definicji różniczki zupełnej prędkości:

$d{\vec {v}}={{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+dx{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial x}}+dy{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial y}}+dz{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial z}}={{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+(d{\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\Rightarrow {{d{\vec {v}}} \over {dt}}={{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}\;$

(6)

Wzór (6) podstawiamy do równania fizycznego (5), i w ten sposób otrzymujemy ogólne końcowe równanie, które nazwiemy równaniem Eulera:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=-{{1} \over {\rho }}\operatorname {grad} p\;$

(7)

Jeśli dodatkowo uwzględnimy siły grawitacyjne działające na ciecz, w której panuje przyspieszenie ziemskie ${\vec {g}}\;$, to równanie (7) możemy przepisać w troszeczkę innej postaci:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=-{{1} \over {\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {g}}\;$

(8)

Podczas przemiany adiabatycznej entropia na jednostkę masy pozostaje stała w czasie, bo tutaj nie będziemy uwzględniać przekazywania ciepła pomiędzy różnymi częściami cieczy, zatem pochodna zupełna entropii na jednostkę masy względem czasu pozostaje równa zero, co oznacza że ta wielkość wszędzie w cieczy nie zmienia się, ale zależy od punktu do punktu, zatem równanie zachowania entropii na jednostkę masy "s" przy tak postawionych warunkach dla zachowania entropii piszemy w postaci:

${{ds} \over {dt}}={{\partial s} \over {\partial t}}+{{dx_{i}} \over {dt}}{{\partial s} \over {\partial x_{i}}}={{\partial s} \over {\partial t}}+{\vec {v}}\operatorname {grad} s=0\;$

(9)

Równanie (9) mnożymy przez gęstość cząstki cieczy ρ, a równanie (1) mnożymy przez entropię s, i wtedy otrzymujemy tożsamość:

$\rho {{\partial s} \over {\partial t}}+\rho {\vec {v}}\operatorname {grad} s+s{{\partial \rho } \over {\partial t}}+s\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\Rightarrow {{\partial (\rho s)} \over {\partial t}}+\operatorname {div} (\rho s{\vec {v}})=0\;$

(10)

Entropia we wszystkich punktach cieczy nie zmienia się i pozostaje stała co możemy wyrazić związkiem s=const, co będziemy korzystali z tego w dalszych punktach naszego rozważania, co ten ruch przy zachowanej entropii nazywamy izotropowym. Entalpię możemy napisać z jego definicji różniczki (Niedopasowany uchwyt: 3.15) i licząc wielkość entropii na jednostkę masy "s", i w ten sposób:

$dw=Tds+vdp=vdp={{1} \over {\rho }}dp\Rightarrow \rho \operatorname {grad} w=\operatorname {grad} p\;$

(11)

Równość (11) podstawiamy do (7), i wtedy mamy tożsamość zależną od prędkości i entalpii swobodnej na jednostkę masy:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}=-\operatorname {grad} w\;$

(12)

Wyznaczmy teraz wyrażenie oparta na iloczynach wektorowych, rotacji i gradiencie, którą to przepisujemy z własności podwojonego iloczynu symboli Leviego-Civity poprzez delty Kroneckera:

${\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}={\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {v}})=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}v_{j}\nabla _{l}v_{m}=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)v_{j}\nabla _{i}v_{m}=\;$
$=v_{m}\nabla _{i}v_{m}-v_{l}\nabla _{l}v_{i}={{1} \over {2}}\operatorname {grad} v^{2}-({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}\Rightarrow ({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}={{1} \over {2}}\operatorname {grad} v^{2}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}\;$

(13)

Tożsamość matematyczną uzyskanych w wyników końcowych obliczeń (13) podstawiamy do (12), i w ten sposób:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}-({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})=-\operatorname {grad} \left(w+{{v^{2}} \over {2}}\right)\;$

(14)

Jeśli obustronnie podziałamy na równanie (14) operatorem rotacji rot, wtedy dostajemy:

${{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}=\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})\;$

(15)

Do powyższych tożsamości należy dodać równanie obrazujące, że ciecz nie może wylewać się przez ścianki naczynia, co przez to możemy powiedzieć, że prędkość normalna do powierzchni naczynia jest równa zero, czyli v_n=0.

Tensor strumienia pędu

Wyprowadzimy tutaj jak się zmieni pęd pewnej w zamkniętej objętości, jeśli wpłynie do niego jakiś pęd, jeśli jest znany tensor pędu Π_ik. Z równania ciągłości możemy z oczywistych powodów zapisać równanie wynikowe poniżej, a także zapiszemy w tej samej linijce pochodną i-tej współrzędnej prędkości wynikającej z równania Eulera (7):

${{\partial \rho } \over {\partial t}}=-{{\partial (\rho v_{k})} \over {\partial x_{k}}}\;$ (16)

${{\partial v_{i}} \over {\partial t}}=-v_{k}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}\;$ (17)

Pochodną czasową cząstkową z iloczynu gęstości ρv_i możemy przepisać przy pomocy tożsamości fizycznych (16) i (17) i z własności delty Kroneckera:

${{\partial } \over {\partial t}}\rho v_{i}=\rho {{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial \rho } \over {\partial t}}v_{i}=-\rho v_{k}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}-v_{i}{{\partial \rho v_{k}} \over {\partial x_{k}}}=-{{\partial o} \over {\partial x_{i}}}-{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\rho v_{i}v_{k}=\;$
$=\delta _{ik}{{\partial p} \over {\partial x_{k}}}-{{\partial } \over {\partial x_{k}}}\rho v_{i}v_{k}=-{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\left(p\delta _{ik}+\rho v_{i}v_{k}\right)\;$

(18)

Wprowadźmy teraz definicję tensora gęstości strumienia pędu, który jest napisany przy pomocy ciśnienia "p" i współrzędnych prędkości:

$\Pi _{ik}=p\delta _{ik}+\rho v_{i}v_{k}\;$

(19)

Wzór końcowy (18) przy pomocy definicji tensora pędu (19) możemy przepisać do postaci:

${{\partial } \over {\partial t}}\rho v_{i}=-{{\partial \Pi _{ik}} \over {\partial x_{k}}}\;$

(20)

Aby wyprowadzić sens fizyczny tensora pędu nalezy równość (20) z całkować po objętości zamkniętej obustronnie i skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy:

$\int {{\partial } \over {\partial t}}\rho v_{i}dV=-\int {{\partial \Pi _{ik}} \over {\partial x_{k}}}dV\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int \rho v_{i}=-\oint \Pi _{ik}dS_{k}\;$

(21)

Widzimy na podstawie wzoru (21), że całkowity pęd jaki przybył w czasie do pewnej objętości zamkniętej jest równy strumieniowi pędu wziętej ze znakiem minus. Gęstością pedu ubywającej z objętości V ubywającej na danej powierzchni w danym punkcie jej określamy przez:

$p{\vec {n}}+\rho {\vec {v}}({\vec {v}}{\vec {n}})\;$

(22)

Zatem tensor Π_ik jest i-tą składową pędu upływającej przez powierzchnię w jednostce czasu względem powierzchni prostopadłej do x_k.

Strumień gęstości energii powierzchniowej

Na sam początek napiszmy wyrażenie, które napiszemy przy pomocy twierdzenia o pochodnej iloczynu:

${{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}={{v^{2}} \over {2}}{{\partial \rho } \over {\partial t}}+\rho {\vec {v}}{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}\;$

(23)

Do wzoru (7) wykorzystamy wzór na lokalną zasadę zachowania energii (1) i wzoru wynikającego z drugiej zasady dynamiki Newtona (7), wtedy na podstawie tychże praw możemy powiedzieć:

${{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}=-{{v^{2}} \over {2}}\operatorname {div} \rho {\vec {v}}-{\vec {v}}\operatorname {grad} p-\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}\;$

(24)

We wzorze (23) należy zauważyć, że ${\vec {v}}({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}={\vec {v}}\nabla {{v^{2}} \over {2}}\;$, i wykorzystamy związek termodynamiczny na entalpię na jednostkę masy (Niedopasowany uchwyt: 3.15), w którym zamienimy różniczki zupełne na gradienty, tzn.: dw=Tds+dp/ρ⇒gradw=T grad s-1/ρgrad p⇒ grad p=ρ∇w-ρT∇s, wtedy równość (24) przechodzi w:

${{\partial } \over {\partial t}}{{\rho v^{2}} \over {2}}=-{{v^{2}} \over {2}}\operatorname {div} \rho v-\rho {\vec {v}}\nabla \left(w+{{v^{2}} \over {2}}\right)+\rho T{\vec {v}}\nabla s\;$

(25)

Z definicji różniczki zupełnej energii wewnętrznej na jednostkę masy (Niedopasowany uchwyt: 2.9) możemy napisać tożsamość fizyczną przy pomocy różniczek entropii na jednostkę masy i właściwej objętości "v", która jest objętością właściwą ograniczoną powierzchnią zamkniętą S:

$d\epsilon =Tds-pdv=Tds+{{p} \over {\rho ^{2}}}d\rho \;$

(26)

wtedy różniczkę iloczynu gęstości materii w danym punkcie i energii na jednostkę masy możemy zapisać w formie:

$d(\rho \epsilon )=\epsilon d\rho +\rho d\epsilon =\left(w-{{p} \over {\rho }}\right)d\rho +\rho \left(Tds+{{p} \over {\rho ^{2}}}d\rho \right)=wd\rho +\rho Tds\;$

(27)

Biorąc na sam początek równość (26) możemy policzyć pochodną cząstkową wielkości ρε względem czasu wykorzystując przy okazji zasadę lokalnej zasady zachowania materii (1) i entropii (9):

${{\partial (\rho \epsilon )} \over {\partial t}}=w{{\partial \rho } \over {\partial t}}+\rho T{{\partial s} \over {\partial t}}=-w\operatorname {div} \rho {\vec {v}}-\rho T{\vec {v}}\nabla s\;$

(28)

Wyznaczmy teraz sumę obustronną równości (25) i (27), i po zredukowaniu pewnych wyrazów związanych z entropią od razu otrzymujemy tożsamość fizyczną:

${{\partial } \over {\partial t}}\left({{\rho v^{2}} \over {2}}+\rho \epsilon \right)=-\left(w+{{v^{2}} \over {2}}\right)\operatorname {div} \rho {\vec {v}}-\rho ({\vec {v}}\nabla )\left(w+{{v^{2}} \over {2}}\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{\partial } \over {\partial t}}\left({{\rho v^{2}} \over {2}}+\rho \epsilon \right)=-\operatorname {div} \left[\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+w\right)\right]\;$

(29)

Przecałkujmy obie strony równości (29) po objętości zamkniętej powierzchnią zamkniętą, i do którego wykorzystamy twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa zamieniając całkę po objętości na całkę po omawianej powierzchni zamkniętej:

$\int {{\partial } \over {\partial t}}\left({{\rho v^{2}} \over {2}}+\rho \epsilon \right)dV=-\int \operatorname {div} \left[\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+w\right)\right]\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dt}}\int \left({{\rho v^{2}} \over {2}}+\rho \epsilon \right)dV=-\oint \rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+w\right)d{\vec {S}}\;$

(30)

Ilość energii z jaką przybywa z objętości V jest określony przez całkę określonych według prawej strony równości końcowej (30), a gęstością powierzchniową energii ubywającej z pewnej objętości określanych przez:

$\rho {\vec {v}}\left({{v^{2}} \over {2}}+w\right)\;$

(31)

Ciecz w stanie spoczynku

Przepiszemy sobie teraz równanie (8) przy zerowym prędkości ruchu cieczy:

$\operatorname {grad} p=\rho {\vec {g}}\;$

(32)

Załóżmy sobie, że przyspieszenie ziemskie jest skierowane wzdłuż osi zetowej, o zwrocie przeciwnym do osi zetowej, wtedy (32) możemy rozpisać w postaci trzech równań:

${{\partial p} \over {\partial x}}={{\partial p} \over {\partial y}}=0\;$ (33)

${{\partial p} \over {\partial z}}=-\rho g\;$ (34)

Równanie (34) możemy rozwiązać w postaci funkcji zależnej od osi zetowej, którego przepis:

$p=-\rho gz+\operatorname {const} \;$

(35)

Możemy przyjąć, że na wysokości h ciśnienie gazu jest równe p₀, wtedy stałą występującej we wzorze (35) możemy rozpisać w postaci:

$\operatorname {const} =p_{0}+\rho gh\;$

(36)

Wtedy równanie (35) na podstawie obliczeń (36) możemy napisać że ciśnienie w zależności od współrzędnej zetowej:

$p=p_{0}+\rho g(h-z)\;$

(37)

Wprowadźmy teraz funkcję Gibbsa (Niedopasowany uchwyt: 3.27) na jednostkę masy przy stałej temperaturze gazu rzeczywistego, której iloczyn gradientu ciśnienia i gęstości objętościowej jest równa gradientowi funkcji Gibbsa na jednostkę masy:

$d\Phi =-sdT+vdp={{1} \over {\rho }}dp\Rightarrow \rho \operatorname {grad} p=\operatorname {grad} \Phi \;$

(38)

Końcową tożsamość (38) możemy podstawić do równania cieczy w stanie spoczynku (32), i w ten sposób mamy:

$\rho \operatorname {grad} \Phi =\rho {\vec {g}}\Rightarrow \operatorname {grad} \Phi ={\vec {g}}\;$

(39)

Równanie (39) na funkcję Φ możemy tak rozwiązać tak jak dla ciśnienia "p", tzn. otrzymujemy:

$\Phi =-gz+\operatorname {const} \;$

(40)

Jeśli gaz jest w stanie równowagi mechanicznej, to gęstość cieczy na wysokości "z" powinna spełniać równanie (34) w zależności od gradientu zetowego ciśnienia względem osi zetowej:

$\rho =-{{1} \over {g}}{{\partial p} \over {\partial z}}\;$

(41)

W ogólnym przypadku równanie cieczy (32) możemy rozpisać przy pomocy potencjału grawitacyjnego φ, a właściwe gradient tego potencjału jest równy tutaj przyspieszeniu grawitacyjnemu:

$\operatorname {grad} p=-\rho \operatorname {grad} \phi$

(42)

Na równość (42) możemy podziałać obustronnie lewostronnie przez operator dywergencji i korzystając z prawa Gaussa dla grawitacji (Niedopasowany uchwyt: 1.162), i w ten sposób możemy otrzymać:

$\operatorname {div} \left({{1} \over {\rho }}\operatorname {grad} p\right)=-4\pi G\rho \;$

(43)

Jeśli wykorzystamy definicję operatora ∇ występującym w rachunku operatorowym (Niedopasowany uchwyt: 7.30), wtedy lewą stronę równości (43) możemy rozpisać na w sposób w układzie kulistym dla funkcji p zależnej tylko od promienia:

$\left(e_{r}{{\partial } \over {\partial r}}+{{e_{\theta }} \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{e_{\phi }} \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right)\left[{{1} \over {\rho }}\left(e_{r}{{\partial } \over {\partial r}}+{{e_{\theta }} \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{e_{\phi }} \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right)p\right]=\;$
$=\left({\vec {e}}_{r}{{\partial } \over {\partial r}}+{{e_{\theta }} \over {r\sin \phi }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{{{\vec {e}}_{\phi }} \over {r}}{{\partial } \over {\partial \phi }}\right){\vec {e}}_{r}\left({{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial r}}p\right)={{\partial } \over {\partial r}}\left({{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial r}}p\right)+{{1} \over {r\sin \phi }}\sin \phi {{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}+{{1} \over {r\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}=\;$
$={{\partial } \over {\partial r}}\left({{1} \over {\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}\right)+{{2} \over {r\rho }}{{\partial p} \over {\partial r}}={{1} \over {r^{2}}}{{d} \over {dr}}\left({{r^{2}} \over {\rho }}{{dp} \over {dr}}\right)\;$

(44)

Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie (44) dla ciśnienia zależnego radialnie od "r" dla obiektu przyjmowanego w stanie równowagi stan kulisty, wtedy równość (43) możemy przepisać według przepisu:

${{1} \over {r^{2}}}{{d} \over {dr}}\left({{r^{2}} \over {\rho }}{{dp} \over {dr}}\right)=-4\pi G\rho \;$

(45)

Wyprowadzenie równania Bernoulliego dla bezwirowego i niezależącego do czasu ruchu cieczy

Równanie (14) dla bezwirowego ruchu cieczy, dla której zachodzi $_{\operatorname {rot} v=0}\;$, znajdujących się w polu grawitacyjnym i dla cieczy, której w danym punkcie prędkość cieczy nie zależy od czasu $_{{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}\;$, możemy przepisać w formie:

$0=-\operatorname {grad} \left(w+{{v^{2}} \over {2}}+gz\right)\;$

(46)

Rozwiązując równość (46) przy wykorzystaniu wzoru na całkę z gradientu (Niedopasowany uchwyt: 7.64), którą przepisujemy przy pomocy wprowadzonej stałej:

${{1} \over {2}}v^{2}+w+gz=\operatorname {const} \;$

(47)

Gdy ciecz nie znajduje się w polu grawitacyjnym, wtedy w powyższym równaniu g jest równe zero, wtedy równanie Bernoulliego przyjmuje bardziej uproszczoną postać:

${{1} \over {2}}v^{2}+w=\operatorname {const} \;$

(48)

Według wzoru (11) dla cieczy nieściśliwej gęstość cieczy w dowolnym jego punkcie przyjmuje wartość stałą niezależną od punktu w który należy do cieczy, wtedy ta równość (47) dla cieczy, dla której entalpia na jednostkę masy, czyli w=p/ρ, przyjmuje postać:

${{1} \over {2}}\rho v^{2}+p+\rho gz=\operatorname {const} \;$

(49)

Ciągłość bezwirowości cieczy

Jeśli początkową ruch cieczy był bezwirowy, to w dalszym jego ruchu ruch cieczy jest bezwirowy, co można to wykazać działając operatorem rotacji lewostronnie na równość różniczkową (14), wtedy pierwszy wyraz po jego prawej stronie pozostaje tożsamościowo zerowy, zatem jeśli w danym punkcie rotacja prędkości jest równa zero, to w dalszych etapach ruchu rotacja pozostaje nadal równa zero, co świadczy że rotacja pozostaje niezmieniona w ruchu potencjalnym i pozostaje stała, zatem prędkość cieczy w danym punkcie można definiować w postaci gradientu pewnego potencjału:

${\vec {v}}=\operatorname {grad} \phi \;$

(50)

Wykorzystując tożsamość fizyczną (50) dla ruchu bezwirowego równość (14) z udziałem pola grawitacyjnego przepiszemy do postaci przy powyższych uwagach, i które przecałkujemy wykorzystując tożsamość (Niedopasowany uchwyt: 7.64):

${{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {grad} \phi =-\operatorname {grad} \left(w+{{v^{2}} \over {2}}+gz\right)\Rightarrow 0=-\operatorname {grad} \left(w+{{v^{2}} \over {2}}+{\dot {\phi }}+gz\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow w+{{v^{2}} \over {2}}+gz+{\dot {\phi }}=f(t)\;$

(51)

Linie prądu dla cieczy nieściśliwej

Będziemy tutaj rozpatrywali ciecze dla której gęstość cieczy ρ nie zależy od czasu i położenia, wtedy równanie ciągłości (1) możemy zapisać w formie:

$\operatorname {div} {\vec {v}}={{\partial v_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial v_{y}} \over {\partial y}}=0\;$

(52)

Aby tożsamość (52) była tożsamościowo równa zero, to zdefiniujemy funkcję Ψ dla prędkości v_x i v_y, którego to definicje są:

$v_{x}={{\partial \psi } \over {\partial y}}\;$ (53)

$v_{y}=-{{\partial \psi } \over {\partial x}}\;$ (54)

Wykorzystajmy równość (15) i definicje (53), (54), wtedy na podstawie tego możemy napisać tożsamość fizyczną linii prądu Φ w postaci wzoru, którego jeszcze niżej udowodnimy:

${{\partial } \over {\partial t}}\Delta \psi -{{\partial \psi } \over {\partial x}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial y}}+{{\partial \psi } \over {\partial y}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial x}}=0\;$

(55)

Wyznaczmy czemu jest równa rotacja prędkości przy wykorzystaniu wzorów na definicję współrzędnych prędkości, tzn. (53) i (54), i w ten sposób:

$\operatorname {rot} {\vec {v}}=\left(0,0,{{\partial v_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial v_{x}} \over {\partial y}}\right)=\left(0,0,-{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial x^{2}}}-{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial y^{2}}}\right)=-\left(0,0,\Delta \psi \right)\;$

(56)

Mając na uwadze udowodnioną tożsamość (56) możemy powiedzieć na podstawie definicji iloczynu skalarnego i udowodnionego wzoru (56):

${\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}=\left(v_{y}\Delta \psi ,-v_{x}\Delta \psi ,0\right)=\left(v_{y},-v_{x}\right)\Delta \psi \;$

(57)

Na samym końcu policzmy $_{\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})}\;$ przy wykorzystaniu udowodnionego wzoru (57):

$\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})=\left(0,0,-{{\partial (v_{x}\Delta \psi )} \over {\partial x}}-{{\partial (v_{y}\Delta \psi )} \over {\partial y}}\right)=\left(0,0,-v_{x}{{\Delta \psi } \over {\partial x}}-v_{y}{{\partial \psi } \over {\partial y}}\right)=\;$
$=-\left(0,0,-{{\partial \psi } \over {\partial x}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial y}}+{{\partial \psi } \over {\partial y}}{{\partial \Delta \psi } \over {\partial x}}\right)\;$

(58)

Możemy przyrównać obie strony tożsamości (56) z (58), i w ten sposób otrzymujemy tożsamość, którą chcieliśmy udowodnić, tzn. (55). Znając funkcję prądu Ψ możemy teraz podać równanie na linie prądu dla przepływu dwuwymiarowego, która jest podana przez równość:

${{dx} \over {v_{x}}}={{dy} \over {v_{y}}}\;$

(59)

wtedy równanie na różniczkę zupełną funkcji prądu Ψ i wykorzystując definicje prędkości dla naszego przepływu, tzn. wzory (53) i (54), i na podstawie równości na lini prądu (59), wtedy możemy przepisać ją do postaci:

${{\partial \psi } \over {\partial x}}dx+{{\partial \psi } \over {\partial y}}dy=-v_{y}dx+v_{x}dy=0\;$

(60)

Jeśli chcemy policzyć strumień prądu przepływającej przez krzywą, to ona wyraża się jako różnicę funkcji prądu w punkcie "b" i w punkcie "a" pomnożonej przez gęstość objętościową cieczy:

$Q=\rho \int _{a}^{b}v_{n}dl=\int _{a}^{b}\left(-v_{y}dx+v_{x}dy\right)=\rho \int _{a}^{b}d\psi =\rho (\psi _{b}-\psi _{b})\;$

(61)

Bardzo często definiuje się prędkości w przepływie dwuwymiarowym prędkości v_x i v_y, którego definicje są oprócz przy pomocy linii prądów Ψ, są również definiowane przy pomocy potencjału φ:

$v_{x}={{\partial \varphi } \over {\partial x}}={{\partial \psi } \over {\partial y}}\;$ (62)

$v_{y}={{\partial \varphi } \over {\partial y}}=-{{\partial \psi } \over {\partial x}}\;$ (63)

Związki prędkości v_x i v_y z funkcjami φ i Ψ, które są opisane przy pomocy równań (62) i (63), które są równoważna z warunkami Cauchy'ego-Riemanna dla liczby zespolonej opisywanej wzorem:

$w=\varphi +i\psi ;\;$

(64)

dla której istnieje pochodna względem zmiennej zespolonej z=x+iy, którą możemy przepisać przy wykorzystaniu warunków (62) i (63) jako:

${{dw} \over {dz}}={{\partial w} \over {\partial z}}={{\partial \varphi } \over {\partial x}}{{\partial (z-iy)} \over {\partial z}}+i{{\partial \psi } \over {\partial y}}{{\partial (z-x)} \over {\partial z}}={{\partial \varphi } \over {\partial x}}+i{{\partial \psi } \over {\partial y}}=v_{x}-iv_{y}\;$

(65)

Możemy policzyć całkę z funkcji w (64) względem zmiennej zespolonej z, która jak się można przekonać się jest równa sumie residuów zawartych wewnątrz kontury C pomnożonej przez 2πi (Niedopasowany uchwyt: 8.32):

$\oint _{C}wdz=2\pi i\sum _{i}\operatorname {Res} f(z_{i})\;$

(66)

Z drugiej jednak strony możemy napisać lewą stronę równości (66) przy pomocy przestawienia liczby "w" i "z" przy pomocy cześci zespolonej i rzeczywistej, wtedy:

$\oint _{C}wdz=\oint (v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}dx+v_{y}dy)+i\oint _{C}(v_{x}dy-v_{y}dx)\;$

(67)

Drugi wyraz jest strumieniem cieczy przepływającej przez zamknięty kontur, więc jest równy zero, zatem wyrażenie po lewej stronie (67) jest liczbą rzeczywistą nas podstawie dowodu (67), wtedy to wyrażenie nazywamy krążeniem Γ po prędkościach w przestrzeni rzeczywistej równej prawej stronie wzoru przedostatniego.

Siły oporu spowodowane opływem potencjalnym ciała stałego

Rozważmy przypadek opływu doskonałej cieczy przez spoczywające ciało ciało, która jest równoważna ze zjawiskiem z zasady względności opływu spoczywającej ogólnie cieczy przez poruszające się ciało stałe. Ruch potencjalny cieczy jest opisywane równanie Laplace'a Δφ=0. Rozważmy takie rozwiązania równań ruchu cieczy, dla której ciecz w nieskończoności pozostaje spoczynku. Rozważmy rozwiązania, które są kolejnymi pochodnymi 1/r względem operatora ∇, wtedy wzór na potencjał w takim razie możemy określić przez:

$\varphi =-{{a} \over {r}}+{\vec {A}}\nabla {{1} \over {r}}+...\;$

(68)

Można zauważyć, że stała "a" równa jest zero dla przepływu stacjonarnego, bo jeśli mamy $_{\varphi ={{1} \over {r}}}\;$, to wtedy prędkość możemy wyrazić przez (50), zatem prędkość w takim wypadku wyrażamy:

${\vec {v}}=-\nabla {{a} \over {r}}={{a{\vec {r}}} \over {r^{3}}}\;$

(69)

Obliczmy teraz strumień opływający daną kulę o promieniu R, zatem wnioskujemy na podstawie tego, że całka prędkości wyrażonej przez wzór (69) względem powierzchni kuli o promieniu R piszemy przez:

$\rho \oint {\vec {v}}d{\vec {S}}=\rho {{a} \over {R^{2}}}4\pi R^{2}=4\pi \rho a\;$

(70)

Ponieważ przepływ mamy potencjalny dla ciała stałego, zatem wnioskujemy, że stała "a" powinna być równa zero. Zatem w (68) pierwszy wyraz znika i pozostaje drugi, a dalsze wyrazy pomijamy, zatem wzór na potencjał wyrażamy przez:

$\varphi ={\vec {A}}\nabla {{1} \over {r}}=-{{{\vec {A}}{\vec {n}}} \over {r^{2}}}={{{\vec {A}}{\vec {r}}} \over {r^{3}}}\;$

(71)

Prędkość ciała wyrażamy poprzez wzór (60), do którego podstawimy wzór na potencjał (71)

${\vec {v}}=\nabla \varphi =-\nabla {{{\vec {A}}{\vec {r}}} \over {r^{3}}}=-{{{\vec {A}}-3({\vec {A}}{\vec {r}})r^{2}{{\vec {r}} \over {r}}} \over {r^{6}}}={{3({\vec {A}}{\vec {n}}){\vec {n}}-{\vec {A}}} \over {r^{3}}}\;$

(72)

Występujący wyraz w (72) jest związany z energię i pędem cieczy opływającej daną kulę i jest ona opisana poprzez równość poniżej, i wyodrębnijmy sobie kulę o bardzo dużym promieniu R mających swój początek w środku układu odniesienia, napiszmy poniższą prędkość przy pomocy prędkości ciała ${\vec {u}}\;$ dla objętości ciała V₀, która jest niezależna od prędkości, a także wykorzystamy z twierdzenia, że $_{{\vec {v}}+{\vec {u}}}\;$ można zapisać jako $_{\nabla (\varphi -u{\vec {r}})}\;$, i na samym końcu wykorzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa i wykorzystując, ze dywergencja zarówno prędkości cieczy $_{\vec {v}}\;$, jak i prędkości ciała${\vec {u}}\;$ są równe zero:

${{2E} \over {\rho }}=\int v^{2}dV=\int u^{2}dV+\int ({\vec {v}}+{\vec {u}})({\vec {v}}-{\vec {u}})dV=\;$
$=u^{2}(V-V_{0})+\int \operatorname {div} \left[(\varphi +{\vec {u}}{\vec {r}})({\vec {v}}-{\vec {u}})\right]dV=u^{2}(V-V_{0})+\oint (\varphi +{\vec {u}}{\vec {r}})({\vec {v}}-{\vec {u}})d{\vec {S}}\;$

(73)

Wektor $d{\vec {f}}\;$ jest skierowany na zewnątrz powierzchni S₀, zatem oczywiste jest, że całka po S₀ jest tożsamościowo równa zero. Dla odległej powierzchni S dokonujemy podstawienia do wzoru (73) definicję potencjału (71) i prędkości ciała (72), wtedy:

$\int v^{2}dV=u^{2}\left({{4} \over {3}}\pi R^{3}-V_{0}\right)+\int \left[\varphi {\vec {v}}-\varphi {\vec {u}}+R{\vec {v}}({\vec {u}}{\vec {n}})-R{\vec {u}}({\vec {u}}{\vec {n}})\right]{\vec {n}}R^{2}d\omega =\;$
$=u^{2}\left({{4} \over {3}}\pi R^{3}-V_{0}\right)+\int d\omega R^{2}{\Bigg [}-{{(3({\vec {A}}{\vec {n}})^{2}-({\vec {A}}{\vec {n}})^{2}} \over {R^{5}}}+{{({\vec {A}}{\vec {n}})({\vec {u}}{\vec {n}})} \over {R^{2}}}+\;$
$+R({\vec {u}}{\vec {n}}){{3({\vec {A}}{\vec {n}})-({\vec {A}}{\vec {n}})} \over {R^{3}}}-R({\vec {u}}{\vec {n}})^{2}{\Bigg ]}=u^{2}\left({{4} \over {3}}\pi R^{3}-V_{0}\right)+\int \left[3({\vec {A}}{\vec {n}})({\vec {u}}{\vec {n}})-({\vec {u}}{\vec {n}})^{2}R^{3}\right]d\omega$

(74)

Całkowanie we wzorze (74) polega na uśrednianiu po wszystkich kierunkach wektora ${\vec {n}}\;$ i pomnożeniu przez 4π, tzn. mamy:

${\overline {({\vec {A}}{\vec {n}})({\vec {B}}{\vec {n}})}}=A_{i}B_{k}{\overline {n_{i}n_{k}}}={{1} \over {3}}\delta _{ik}A_{i}B_{k}={{1} \over {3}}({\vec {A}}{\vec {B}})\;$

(75)

Mając na uwadze (75) możemy dokończyć całkowania wzoru (74), którego to przekształcenia są takie:

$\int v^{2}dV=u^{2}\left({{4} \over {3}}\pi R^{3}-V_{0}\right)+4\pi ({\vec {A}}{\vec {u}})-{{4} \over {3}}\pi R^{3}u^{2}=4\pi ({\vec {A}}{\vec {u}})-V_{0}u^{2}\;$

(76)

Mając już obliczoną całkę (76) do końca, zatem napiszmy energię cieczy opływającej mnożąc wyrażenie (76) przez ρ/2, otrzymujemy:

$E={{1} \over {2}}\rho \left(4\pi {\vec {A}}{\vec {u}}-V_{0}u^{2}\right)\;$

(77)

Wyznaczenie wektora ${\vec {A}}\;$ wymaga pełnego rozwiązania równania Δφ=0 z uwzględnieniem ściśle określonych warunków brzegowych. Ogólnie rzecz mówiąc wektor ${\vec {A}}\;$ jest zależny od warunków brzegowych liniowo względem ${\vec {u}}\;$, wtedy mamy liniowość φ względem ${\vec {u}}\;$ i odwrotnie, zatem energię (77) w sposób ogólny możemy rozpisać jako:

$E={{1} \over {2}}m_{ik}u_{i}u_{k}\;$

(78)

Pęd cieczy wyrażamy jako pochodna jej energii (78) względem u_i, wtedy i-ta współrzędna pędu piszemy przez:

$P_{i}=m_{ik}u_{k}\;$

(79)

Również pęd cieczy w sposób równoważny do poprzedniego możemy policzyć jako pochodna kierunkowa (77) względem wektora${\vec {u}}\;$, biorąc liniowość pomiędzy wektorami $_{\vec {u}}\;$, a $_{\vec {A}}\;$, wtedy:

${\vec {P}}=4\pi \rho {\vec {A}}-\rho V_{0}{\vec {u}}\;$

(80)

Siła działającą ze strony ciała stałego na ciecz określamy jako pochodną pędu ${\vec {P}}\;$ względem czasu określony przy pomocy wektora pędu (80) lub współrzędnych wektora pędu (79), zatem siła działająca na ciało stałe ze strony cieczy równoległa do prędkości ciała stałego ${\vec {u}}\;$ jest siłą oporu, a składowa prostopadła do prędkości ciała nazywamy siłą nośną, i one są określone poprzez jeden wzór:

${\vec {F}}=-{{d{\vec {P}}} \over {dt}}\;$

(81)

• Zauważmy gdybyśmy mieli z ruchem potencjalny, to wtedy na pewno zachodziło by ${\vec {P}}=\operatorname {const} \;$, to wtedy by było ${\vec {F}}=0\;$, co daje nam, gdy byśmy mieli przypadek gdy siły na powierzchnię zamkniętą wzajemnie się równoważyły, zatem rozważany przypadek nazywamy paradoksem d'Alemberta. Istnienie tego paradoksu znaczy, że źródło zewnętrzne powinno stale produkować energię na podtrzymanie ruchu, która jest odprowadzana do nieskończoności lub zamieniana na energię kinetyczną cieczy.
• Rozważany tutaj przypadek dotyczy cieczy nieskończonej, zatem jeśli ciało porusza się z prędkością równoległą do powierzchni, to powstaje siłą oporu zwana tutaj oporem falowym, który powoduje drgania w postaci fal, które cały czas niosą energię do nieskończoności.

Równanie ruchu ciała poruszającego się z prędkością ${\vec {u}}\;$, na które nań działa siła określona przez (81) i dodatkowa siłą jest napisana poprzez wzór:

$M{{d{\vec {u}}} \over {dt}}+{{d{\vec {P}}} \over {dt}}={\vec {f}}\;$

(82)

Jeśli skorzystamy z definicji pędu cieczy ${\vec {P}}\;$ poprzez jego współrzędne (81), to równanie (82) zapisujemy w postaci trzech równań, które są przestawione według:

$M{{du_{i}} \over {dt}}+m_{ik}{{du_{k}} \over {dt}}=f_{i}\Rightarrow {{du_{k}} \over {dt}}\left(M\delta _{ik}+m_{ik}\right)=f_{i}\;$

(83)

Teraz zapiszmy ten problem na w sposób odwrotny, zatem załóżmy że ciecz wykonuje drania bez żadnych przyczyn zewnętrznych (np. w cieczy rozchodzą się fale dźwiękowe, którego długość fali jest o wiele mniejsza od rozmiarów ciała) dla którego pierwsze równanie zapisane w punkcie (83) zmodyfikujemy by było spełnione:

• Gdy by nie było ciała, to ciecz w tym punkcie, którym znajdowało by się ciało ciało poruszało by się z prędkością ${\vec {v}}\;$.
• Siła działąją możemy wyprowadzić przy pomocy kolejnych rozważań:
  • Siła działająca na ciecz zawartą w objętości ciała, gdy by nie było tam ciała, wtedy siła działająca na tą ciecz znajdującą się ze strony cieczy pozostałej jest taka sama jakby było tam ciało stałe, gdy prędkość ${\vec {v}}\;$ jest równa prędkości ciała, co odpowiada całkowitemu porywaniu ciała przez ciecz.
• Tak naprawdę ciało nie jest porywane całkowicie porywane przez ciecz, wtedy przemieszczenie ciała względem cieczy, co w wyniku czego powstaje pewien dodatkowy ruch cieczy, zatem dodatkowy pęd ciała możemy określić poprzez m_ik(u_k-v_k), czyli należy zastąpić $_{\vec {u}}\;$ przez $_{{\vec {u}}-{\vec {v}}}\;$ w wyrażeniu na współrzędne pędu ciała (79), zatem możemy wyrazić siłę, która jest zapisana w prawej stronie poniższego wzoru:

${{d} \over {dt}}Mu_{i}=\rho V_{0}{{dv_{i}} \over {dt}}-m_{ik}{{d} \over {dt}}(u_{k}-v_{k})\;$

(84)

Równanie różniczkowe (84) możemy przecałkować obustronnie względem czasu i przyjmując będziemy ze stała całkowania jest równa zero, bo prędkości ciała ${\vec {u}}\;$ i cieczy ${\vec {v}}\;$ znajdujących się w objętości ciała zamiast tego ciała, który po dokonaniu tejże operacji grupujemy tak wyrazy by wyrazy zapisane przy pomocy u_i były po lewej stronie, a wyrazy z v_i po prawej stronie, zatem wtedy otrzymujemy:

$\left(M\delta _{ik}+m_{ik}\right)u_{k}=\left(m_{ik}+\rho V_{0}\delta _{ik}\right)v_{k}\;$

(85)

Dla ${\vec {u}}={\vec {v}}\;$ co świadczy o całkowitym porywaniu ciała przez ciecz, co jest tylko możliwe, gdy zachodzi na podstawie (86) wniosek M=ρV₀.

Fale rozchodzące się zewnątrz rozchodzącej się cieczy nieściśliwej

We wcześniejszych rozważaniach badaliśmy fale grawitacyjne polegające na istnieniu grawitacji, która oddziaływuje na ciecz, co ona powoduje zachwianie równowagi mechanicznych i powstawanie ruchu drgającego fal na powierzchni. Teraz będziemy rozpatrywali fale wewnętrzne wewnątrz cieczy i przekonamy się, że to są fale poprzeczne. W tych rozważaniach będziemy rozpatrywali ciecz, którą będziemy uważali za nieściśliwą, tzn. gęstość cieczy nie zależy od zmian ciśnienia w cieczy, natomiast zależy od rozszerzalności cieplnej, dzięki której nasza zmiana gęstości następuje. Będziemy rozpatrywali stan równowagi termodynamicznych przez wskaźnik u dołu z prawej strony przez zero, a małe odchylenia od stanu równowagi będziemy oznaczali primem. Równanie ciągłości entropii możemy zapisać względem wyrazów pierwszego rzędu s=s₀+s^' do postaci:

${{\partial s^{'}} \over {\partial t}}+{\vec {v}}\nabla s_{0}=0\;$

(86)

Możemy skorzystać z równania (8) przy pominięciu wyrazu kwadratowego, i wykorzystując fakt, że stan równowagi cieczy jest określanych przez równość $\nabla p_{0}=\rho _{0}{\vec {g}}\;$, a w stanie nierównowagi z oczywistych problemów możemy powiedzieć:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}=-{{\nabla p} \over {\rho }}+{\vec {g}}=-{{\nabla (p_{0}+p_{0})} \over {\rho _{0}+\rho ^{'}}}+{\vec {g}}=-{{\nabla p_{0}+\nabla p^{'}} \over {\rho _{0}}}\left(1-{{\rho ^{'}} \over {\rho _{0}}}\right)+{\vec {g}}=\;$
$=-{{\nabla p_{0}} \over {\rho _{0}}}+{{\nabla p_{0}} \over {\rho _{0}^{2}}}\rho ^{'}-{{\nabla p^{'}} \over {\rho _{0}}}+{{\nabla p^{'}} \over {\rho _{0}^{2}}}\rho ^{'}+{{\nabla p_{0}} \over {\rho _{0}}}\simeq -{{\nabla p^{'}} \over {\rho _{0}}}+{{\nabla p_{0}} \over {\rho _{0}^{2}}}\rho ^{'}\;$

(87)

Zmiana entropii jest związana ze zmianą gęstości materii, który to możemy przestawić zgodnie z twierdzeniem Taylora jako, że ρ^' jest iloczynem pochodnej cząstkowej gęstości ρ₀ względem entropii w stanie równowagi s₀ pod stałym ciśnieniem przez zmianę entropii s^' w postaci:

$\rho ^{'}=\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}s^{'}\;$

(88)

Jeśli podstawimy tożsamość (88) do równania (87) i wykorzystując fakt, że ρ₀ możemy włożyć pod znak gradientu, bo zaniedbujemy zmianę gęstości na odległość rzędu długości fali, wtedy otrzymujemy:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}=-{{\nabla p^{'}} \over {\rho _{0}}}+{{\nabla p_{0}} \over {\rho _{0}^{2}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)s^{'}\Rightarrow {{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}={{\vec {g}} \over {\rho _{0}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}s^{'}-\nabla {{p^{'}} \over {\rho _{0}}}\;$

(89)

Będziemy rozpatrywali fale prędkości, które to możemy przestawić według wzoru zależnego od wektora propagacji fali ${\vec {k}}\;$ i częstotliwości kołowej ω, które przestawiamy w postaci wzoru:

${\vec {v}}={\vec {A}}e^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}\;$

(90)

Możemy teraz wykorzystać równanie na bezźródłowość cieczy, co objawia się związkiem $\operatorname {div} {\vec {v}}=0\;$, co do niego podstawiamy wzór (90) i w wyniku tego otrzymujemy poprzeczność fal wewnętrznych w cieczy, który to przestawiamy związkiem:

${\vec {v}}{\vec {k}}=0\;$

(91)

Jeśli przyjmować będziemy, że poprawki do entropii tak samo drgają jak fale prędkości (90), wtedy wzory (86) i (89) przestawiają się w postaci związków:

$i\omega s^{'}={\vec {v}}\nabla s_{0}\;$ (92)

$-i\omega {\vec {v}}={{1} \over {\rho _{0}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}s^{'}{\vec {g}}-i{{\vec {k}} \over {\rho _{0}}}p^{'}\;$ (93)

Jeśli wykorzystamy warunek poprzeczności fal wewnętrznych (91), wtedy związek (93) możemy zapisać w postaci związku:

$ik^{2}p^{'}=\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}s^{'}{\vec {g}}{\vec {k}}\;$

(94)

Równość (94) postawiamy do (93) i w ten sposób otrzymamy tożsamość, którą to pomnożymy przez przyspieszenie ziemskie ${\vec {g}}\;$ i wprowadzając kąt θ, który jest kątem pomiędzy osią zetową a wektorem propagacji ${\vec {g}}\;$, wtedy:

$-i\omega {\vec {v}}{\vec {g}}={{1} \over {\rho }}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}s^{'}g^{2}-i{{{\vec {k}}{\vec {g}}} \over {\rho _{0}}}{{1} \over {ik^{2}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}s^{'}({\vec {g}}{\vec {k}})\Rightarrow \;$
$-i\omega {\vec {v}}{\vec {g}}=g^{2}s^{'}{{1} \over {\rho _{0}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}\sin ^{2}\theta$

(95)

Równość (95) mnożymy obustronnie przez ∇s₀ i biorąc pod uwagę, że entropia zmienia się tylko wraz z osią zetową ze względu na symetryczność układu i wykorzystując (92) dostajemy natychmiast:

$-\omega ^{2}gs^{'}=g^{2}s^{'}{{1} \over {\rho _{0}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}{{ds} \over {dz}}\sin ^{2}\theta \Rightarrow \omega ^{2}=-{{g} \over {\rho _{0}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}{{ds} \over {dz}}\sin ^{2}\theta \;$

(96)

Zbadajmy jak się zmienia pochodną entropii s względem współrzędnej zetowej wiedząc, że ciecz znajduje się w równowadze mechanicznej opisywanej przez równanie (36), a także znajduje się w równowadze termodynamicznej pod stałą temperaturą:

${{ds} \over {dz}}=\left({{\partial s} \over {\partial p}}\right)_{T}{{dp} \over {dz}}=-\rho g\left({{\partial s} \over {\partial p}}\right)_{T}\;$

(97)

Ze wzoru (Niedopasowany uchwyt: 3.53), które możemy tak przekształcić, by tak dla zapisanego wzoru na jednostkę masy entropii i objętości (objętość właściwa), bo v=V/m=1/ρ (pierwsza tożsamość poniżej), a także druga tożsamość, do której do udowodnienia wykorzystamy tożsamość (Niedopasowany uchwyt: 5.19):

$\left({{\partial s} \over {\partial p}}\right)_{T}={{1} \over {\rho ^{2}}}\left({{\partial \rho } \over {\partial T}}\right)_{T}\;$

(98)

$\left({{\partial S} \over {\partial V}}\right)_{p}=\left({{\partial S} \over {\partial T}}\right)_{p}\left({{\partial T} \over {\partial V}}\right)_{p}={{C_{p}} \over {T}}\left({{\partial T} \over {\partial V}}\right)_{p}\Rightarrow \left({{\partial \rho } \over {\partial s}}\right)_{p}={{T} \over {c_{p}}}\left({{\partial \rho } \over {\partial T}}\right)_{p}\;$

(99)

Tożsamości (98) i (99) podstawiamy do (97), a to do tożsamości (96), wtedy otrzymujemy:

$\omega _{0}^{2}=-{{g} \over {\rho _{0}}}\left({{\partial \rho _{0}} \over {\partial s_{0}}}\right)_{p}{{ds} \over {dz}}={\sqrt {{T} \over {c_{p}}}}{{g} \over {\rho }}\left|\left({{\partial \rho } \over {\partial T}}\right)_{p}\right|\;$

(100)

Równanie stanu gazu doskonałego możemy zapisać w formie pμ=ρRT, gdzie μ jest to masa molowa gazu, dla którego możemy zapisać (100) w formie:

$\omega _{0}^{2}={\sqrt {{T} \over {c_{p}}}}{{g} \over {\rho }}\left|\left({{\partial \rho } \over {\partial T}}\right)_{p}\right|={\sqrt {{T} \over {c_{p}}}}{{gRT} \over {p\mu }}{{p\mu } \over {RT^{2}}}={{g} \over {\sqrt {c_{v}T}}}\;$

(101)

Fale rozchodzące się w naczyniu obracającym się wraz cieczą

Będziemy rozpatrywać tutaj wirującą ciecz z pewną prędkością kątową Ω, ale możemy tutaj rozpatrzyć układ odniesienia wirujących z pewną prędkością kątową, jest to układ nieinercjalny, tzn. w której występuje siła Coriorisa i siły bezwładności, które możemy podstawić do równania Eulera, i w ten sposób otrzymać tożsamość, w której ciśnienie wlepimy do efektywnego ciśnienia:

$\int \rho dV{{d{\vec {v}}} \over {dt}}=-\oint pd{\vec {S}}-\int \rho dV2({\vec {\Omega }}\times {\vec {v}})-\int \rho dV(\Omega \times (\Omega \times {\vec {r}}))\;$

(102)

Jeśli skorzystamy z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa dla pierwszej i trzeciej całki objętościowej występującym w równaniu po jego prawej strony, i w ten sposób otrzymujemy tożsamość, i powiemy wtedy dla dowolności objetości po której dokonujemy całkowania.

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}+2{\vec {\Omega }}\times {\vec {v}}=-\operatorname {grad} p+\Omega \times \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\right)\;$

(103)

Dalej wyznaczmy w wyniku obliczeń czemu jest równa wyrażenie poniżej, i jak się przekonamy, jest ono równe przyspieszeniu dośrodkowemu wziętej z minusem:

$\nabla (\Omega \times {\vec {r}})^{2}=\nabla _{i}(\epsilon _{ijk}\Omega _{j}x_{k}\epsilon _{ilm}\Omega _{l}x_{m}=\epsilon _{ijk}\Omega _{j}\epsilon _{ilm}\Omega _{l}x_{m}+\epsilon _{ijk}\Omega _{j}x_{k}\epsilon _{ilm}\Omega _{l}=-2\epsilon _{kji}\Omega _{j}\epsilon _{ilm}\Omega _{l}x_{m}=\;$
$=-\left({\vec {\Omega }}\times \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\right)\right)$

(104)

Na podstawie obliczeń wprowadzonych w punkcie (104) drugi wyraz znajdujących się w punkcie (103) po prawej jego stronie możemy wliczyć pod znak gradientu, i dalej można powiedzieć:

${{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\nabla ){\vec {v}}+2{\vec {\Omega }}\times {\vec {v}}=-\operatorname {grad} \left[p-{{1} \over {2}}\rho \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\right)\right]\;$

(105)

Ciśnienie efektywne występujące w równaniu (105), w zależności od prawdziwego ciśnienia i wielkości zależnej od prędkości obrotu nieinercjalnego układu odniesienia, jest w takim wypadku:

$P=p-{{1} \over {2}}\rho \left({\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}\right)\;$

(106)

Podziałajmy obie strony równości (105) operatorem rotacji i w ten sposób dochodzimy do wniosku, że gradient występujący po prawej jego stronie jest równy zero, wtedy:

${{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}+\operatorname {rot} \left(\Omega \times {\vec {v}}\right)=0\;$

(107)

Bardzo ważnym krokiem jest policzenia drugiego wyrażenia po lewej stronie równania (107) wykorzystując definicję symboli Leviego-Civity (Niedopasowany uchwyt: 1.33):

$\operatorname {rot} ({\vec {\Omega }}\times {\vec {v}})=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\nabla _{j}\Omega _{l}v_{m}=\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\nabla _{j}\Omega _{l}v_{m}=\nabla _{i}\Omega _{j}v_{j}-\nabla _{j}\Omega _{j}v_{i}=\;$
$={\vec {\Omega }}\operatorname {div} {\vec {v}}-({\vec {\Omega }}\nabla ){\vec {v}}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 1.108)

Wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie (Niedopasowany uchwyt: 1.108), a także fakt bezźródłowości cieczy, wtedy dywergencja prędkości jest równa zero, zatem równość (107):

${{\partial } \over {\partial t}}\operatorname {rot} {\vec {v}}=({\vec {\Omega }}\nabla ){\vec {v}}\;$

(Niedopasowany uchwyt: 1.108)

Szukamy rozwiązania, który spełnia równanie różniczkowe (Niedopasowany uchwyt: 1.108), i który zapiszemy w postaci eksponencjonalnej z liczby urojonej:

${\vec {v}}={\vec {A}}e^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}\;$

(110)

Jeśli tożsamość na prędkość fali (110) podstawiamy do wzoru określająca jego bezzródłowość cieczy, wtedy z tego warunku mamy:

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0\Rightarrow {\vec {k}}{\vec {v}}=0\;$

(111)

Jeśli przypuszczalne rozwiązanie (110) podostawiamy do (Niedopasowany uchwyt: 7.108), i biorąc, że wektor obrotu ${\vec {\Omega }}\;$ jest równoległy do osi zetowej układu współrzędnych:

$-i\omega i({\vec {k}}\times {\vec {v}})=2\Omega ik_{z}{\vec {v}}\Rightarrow \omega ({\vec {k}}\times {\vec {v}})=2i\Omega k_{z}{\vec {v}}\;$

(112)

Powyższe równanie działamy obustronnie i lewostronnie operatorem z wektora ${\vec {k}}\;$ w postaci iloczynu wektorowego. czyli przez ${{\vec {k}}\times }\;$, w takim wypadku:

$-\omega k^{2}{\vec {v}}=2i\Omega k_{z}({\vec {k}}\times {\vec {v}})\;$

(113)

Patrząc na wzory (113) i (112) i porównując je do siebie, by w ten sposób otrzymać równość na częstotliwość kołową drgań cieczy, w której rozchodzą się fale, obracającej się z prędkością Ω:

$-\omega ^{2}k^{2}{\vec {v}}=4\Omega ^{2}k_{z}^{2}\Rightarrow \omega k=2\Omega k_{z}\Rightarrow \omega =2\Omega {{k_{z}} \over {k}}\Rightarrow \omega =2\Omega \cos \theta \;$

(114)

Pamiętając, że wektor jednostkowy ${\vec {n}}={\vec {k}}/k\;$ jest równoległy do wektora propagacji, to wniosku z (114) i (112) mamy natychmiast:

$({\vec {n}}\times {\vec {v}})=i{\vec {v}}\;$

(115)

Wyznaczmy teraz składowe prędkości grupowej wykorzystując definicji częstotliwości kołowej (114) (przedostatnia równość):

$v_{g}={{\partial \omega } \over {\partial {\vec {k}}}}=2\Omega \left[{{1} \over {k}}-{{k_{x}^{2}} \over {k^{3}}},-{{k_{x}k_{y}} \over {k^{3}}},-{{k_{x}k_{z}} \over {k^{3}}}\right]={{2\Omega } \over {k}}\left(1-{{k_{x}^{2}} \over {k^{2}}},-{{k_{x}k_{y}} \over {k^{2}}},-{{k_{x}k_{z}} \over {k^{2}}}\right)=\;$
$={{2\Omega } \over {k}}\left({\vec {\nu }}-{{k_{x}} \over {k}}{{\vec {k}} \over {k}}\right)={{2\Omega } \over {k}}\left({\vec {\nu }}-({\vec {\nu }}{\vec {n}}){\vec {n}}\right)$

(116)

• gdzie ${\vec {\nu }}\;$ jest wektorem jednostkowym skierowanych wzdłuż wektora obrotu ${\vec {\Omega }}\;$,a definicja wektora ${\vec {n}}\;$ została podana wcześniej.

Jeśli popatrzymy na wzór (105) i dla statyczności płynu i definicji ciśnienia efektywnego (106) dla cieczy obracającego się z prędkością ${\vec {\Omega }}\;$, piszemy wzory jako:

$2({\vec {\Omega }}\times {\vec {v}})=-{{1} \over {\rho }}\nabla P\;$

(117)

co jest równoważne trzem równaniom skalarnym zapisanej, i jak się dowiemy, że pierwsze dwa równania są zależne od gradientu ciśnienia efektywnego (106) i gęstości cieczy, a ostatnie jest tożsamościowo równe zero:

$2\Omega v_{y}={{1} \over {\rho }}\nabla {\vec {P}}\;$ (118)

$2\Omega v_{x}=-{{1} \over {\rho }}\nabla {\vec {P}}\;$ (119)

${{\partial P} \over {\partial z}}=0\;$ (120)

Równanie (118) różniczkujemy cząstkowo obustronnie względem iksa, a (119) różniczkujemy cząstkowo względem igreka, i w ten sposób dostajemy:

${{\partial v_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial v_{y}} \over {\partial y}}=0\;$

(121)

Z równania ciągłości $\operatorname {div} {\vec {v}}=0\;$ i równości (121) od razu dostajemy, ze $_{{{\partial v_{z}} \over {\partial z}}=0}\;$, czyli pochodna zetowej prędkości nie zależy od współrzędnej zetowej położenia.