Wikipedysta:Qblik/Wprowadzenie do analizy ekonomicznej/Model pryncypała i agenta

Koszt zapewnienia odpowiedniej motywacji agentowi rozpatrzymy na przykładzie domokrążcy sprzedającego dywany. Im więcej wysiłku domokrążca włoży w przekonanie potencjalnych nabywców o korzyściach z transakcji, tym więcej dywanów uda mu się sprzedać. Dla ustalonego poziomu wysiłku agenta oznaczmy przez x średni przychód ze sprzedaży dywanów. Decydując się na dany poziom wysiłku, agent pośrednio wybiera średni poziom sprzedaży x, można więc o x mówić również jako o wysiłku agenta mierzonym średnim poziomem sprzedaży. Ponadto zakładamy, że rzeczywisty poziom sprzedaży obarczony jest pewnym ryzykiem, które będziemy modelować przy użyciu parametru σ², a który można interpretować jako wariancję rzeczywistego poziomu sprzedaży.

Załóżmy dalej, że pracodawca domokrążcy płaci mu prowizję s od wartości sprzedanych dywanów. Oprócz tego, domokrążca otrzymuje stałą pensję w wysokości y, która nie zależy od poziomu osiągniętej przez niego sprzedaży. Taki system, składający się ze stałej pensji oraz prowizji zależnej od wysokości sprzedaży, jest dość powszechny w handlu. Agenci nieruchomości otrzymują wynagrodzenia będące kombinacją stałej pensji i prowizji od sprzedaży. Autorzy książek lub utworów muzycznych często otrzymują zaliczkę z góry oraz tantiemy zależne od ilości sprzedanych egzemplarzy, co jest podobnym systemem składającym się ze stałej opłaty oraz z prowizji.

Całkowitą wysokość wynagrodzenia agenta można zatem zapisać jako y + sx. Dodatkowo, agent ponosi koszt związany z wysiłkiem jaki musi podjąć aby uzyskać dany poziom sprzedaży x. Przyjmiemy, że koszt ten dany jest wzorem ${\frac {x^{2}}{2a}}$, gdzie parametr a opisuje poziom umiejętności agenta. Im większy poziom umiejętności agenta a, tym mniejszy koszt jego wysiłku potrzebny do uzyskania danego poziomu sprzedaży x.

Wreszcie musimy również rozważyć koszt ryzyka ponoszony przez agenta. Rzeczywiste ryzyko jakie ponosi agent jest zależne od stopnia w jakim jego wynagrodzenie zależy od s. Jeżeli s jest bliskie zeru, wówczas ryzyko jakie ponosi agent jest niewielkie. Natomiast w sytuacji gdy s jest wysokie, ryzyko jakie ponosi agent może być znaczne. Aby formalnie zapisać koszt ryzyka ponoszony przez agenta skorzystamy z liniowego modelu kosztu ryzyka i założymy, że koszt ryzyka ponoszony przez agenta można zapisać w postaci sλσ². We wzorze tym parametr λ określa skłonność agenta do podejmowania ryzyka, σ² jest wariancją rzeczywistego poziomu sprzedaży dywanów zdefiniowaną wcześniej, natomiast s można interpretować jako udział agenta w całkowitym ryzyku.

W rezultacie całkowitą wypłatę agenba, lub poziom jego użyteczności mierzony w jednostkach monetarnych, można zapisać w postaci:

$u=y+sx-{\frac {x^{2}}{2a}}-s\lambda \sigma ^{2}$

Dwa pierwsze wyrażenia w tym wzorze, czyli y + sx, są płatnościami jakie agent otrzymuje od pryncypała w ramach wynagrodzenia za osiągniętą sprzedaż. Trzecie wyrażenie, ${\frac {x^{2}}{2a}}$, określa monetarny koszt wysiłku konieczny dla osiągnięcia danego średniego poziomu sprzedaży x, zaś ostatnie wyrażenie, czyli sλσ², reprezentuje monetarny koszt ryzyka wynikający z kontraktu z pryncypałem.

Gra pomiędzy agentem i pryncypałem przebiega w następujący sposób. Najpierw pryncypał oferuje agentowi kontrakt, który precyzuje wysokość stałej pensji y oraz prowizji od sprzedaży s. Następnie agent akceptuje bądź odrzuca zaproponowany mu kontrakt. W przypadku odrzucenia kontraktu, agent otrzymuje wynagrodzenie $u_{0}$, odpowiadające płacy z zastępczej pracy będącej jego najlepszą inną dostępną możliwością. Wreszcie, jeżeli agent zaakceptuje kontrakt pryncypała, wówczas wybiera poziom wysiłku jaki ma zamiar ponieść przy sprzedaży dywanów, co w kontekście modelu sformułowanego powyżej oznacza, że agent wybiera optymalny poziom x.

Aby znaleźć doskonałą równowagę Nasha w podgrach, zastosujemy algorytm indukcji wstecznej. Najpierw musimy zatem znaleźć odpowiedź na pytanie, jaki poziom x wybierze agent, jeżeli zaakceptuje kontrakt z pensją y oraz prowizją od sprzedaży s. Ponieważ u zdefiniowaliśmy jako kwadratową funkcję x, więc optymalny poziom wysiłku agenta wynosi $x^{*}=sa$. Podstawiając tę wielkość do wzoru definiującego wypłatę agenta możemy obliczyć poziom jego użyteczności $u^{*}$, który osiągnie akceptując kontrakt:

$u^{*}=u(x^{*})=y+sx^{*}-{\frac {(x^{*})^{2}}{2a}}-s\lambda \sigma ^{2}=y+s(sa)-{\frac {(sa)^{2}}{2a}}-s\lambda \sigma ^{2}=y+{\frac {s^{2}a}{2}}-s\lambda \sigma ^{2}$

Gdy agent podejmuje decyzję o zaakceptowaniu lub odrzuceniu kontraktu, zaakceptuje on kontrakt tylko i włącznie wówczas gdy wartość kontraktu $u^{*}$ jest nie mniejsza niż $u_{0}$, wartość najlepszej dostępnej mu alternatywy, czyli gdy $u^{*}\geq u_{0}$. Zatem ustalając kontrakt do zaproponowania, pryncypał ustala parametry y i s w taki sposób aby $u^{*}=u_{0}$, z czego wynika, że

$y=u_{0}-{\frac {s^{2}a}{2}}+s\lambda \sigma ^{2}$

Analizując to wyrażenie możemy zauważyć, że im większe ryzyko σ², tym wyższą stałą pensję y musi zaoferować pryncypał. Innymi słowy w równowadze pryncypał musi pokryć koszt ryzyka agenta odpowiednio zwiększając jego stałą pensję.