Wytrzymałość materiałów/Zadania

Wiadomości wstępne

Brak zadań

Ściskanie i rozciąganie pręta prostego

Statycznie wyznaczalne

Zadanie 2.1

Wyznaczyć minimalną średnicę pręta rozciąganego siłą osiową $P=3000N$, wiedząc że naprężenia dopuszczalne materiału z którego jest wykonany pręt wynoszą $k_{r}=240MPa$.

Rozwiązanie

Przekrojem pręta kołowego jest koło, więc pole powierzchni przekroju wyraża się wzorem:

$A=\pi r^{2}=\pi \left({\frac {d}{2}}\right)^{2}=\pi {\frac {d^{2}}{4}}$

zgodnie ze wzorem (2.1) otrzymujemy:

$k_{r}\geq {\frac {P}{A}}$

$k_{r}\geq {\frac {P}{\pi {\frac {d^{2}}{4}}}}$

$k_{r}\geq {\frac {4P}{\pi d^{2}}}$

z ostatniego wzoru wyznaczamy średnicę:

$d\geq {\sqrt {\frac {4P}{\pi k_{r}}}}={\sqrt {\frac {4\cdot 3000N}{\pi \cdot 240MPa}}}={\sqrt {\frac {4\cdot 3000N}{\pi 240{\frac {N}{mm^{2}}}}}}$

$d\geq 3,99mm$

Odp: Pręt powinien mieć co najmniej $4mm$ średnicy.

Zadanie 2.2

Oblicz naprężenia i wydłużenie jakie wystąpi w pręcie stalowym o przekroju kołowym rozciągany siłą osiową.

Średnica $d=4mm$; długość $l=2m$; siła $P=2000N$; moduł Younga $E=2,1\cdot 10^{5}MPa$

Rozwiązanie

$\sigma ={\frac {P}{A}}={\frac {4P}{\pi d^{2}}}={\frac {4\cdot 2000}{\pi \cdot 4^{2}}}=159,15{\frac {N}{mm^{2}}}=159,15MPa$

$\Delta l={\frac {Pl}{EA}}={\frac {4Pl}{E\pi d^{2}}}={\frac {4\cdot 2000\cdot 2000}{2,1\cdot 10^{5}\cdot \pi \cdot 4^{2}}}=1,5mm$

Odp: Naprężenia wynoszą $159,15MPa$ a pręt wydłuży się o $1,5mm$.

Zadanie 2.3

Zadanie 2.3.

Oblicz składowe przemieszczeń punktu $C$ dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą $P$. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: $A;B$), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: $C$). Mamy daną długość pręta drugiego oraz kąt między prętem pierwszym a drugim.

Sztywność prętów wynosi $EA$.

Rozwiązanie

Z równań równowagi wyznaczyć należy składowe siły $P$ działające na pręt ① i ②.

$S_{1}={\frac {P}{sin\alpha }}$

$S_{2}=-{\frac {P}{sin\alpha }}cos\alpha =-Pctg\alpha$

Znak minus w pręcie drugim oznacza że siła składowa $S_{2}$ ściska pręt co prowadzi do skrócenia jego długości

Długości prętów są następujące:

① $={\frac {l}{cos\alpha }}$

② $=l$

Wydłużenie pręta pierwszego zaznaczono na rysunku jako odcinek ${\overline {CC_{1}}}$ wynosi:

$\Delta l_{1}={\frac {Pl}{EAsin\alpha cos\alpha }}={\frac {2Pl}{EAsin2\alpha }}$

Wydłużenie (skrócenie) pręta drugiego zaznaczono na rysunku jako odcinek ${\overline {CC_{2}}}$ wynosi:

$\Delta l_{2}={\frac {-Pctg\alpha l}{EA}}$

Pręt drugi skróci się oraz obróci się wokół punktu $B$. Gdy mamy do czynienia ze nieznacznymi zmianami wymiarów długości luk obrotu można zastąpić styczną ${\overline {C_{2}C_{3}}}$. Podobnie pręt pierwszy wydłuży się i obróci wokół punktu $A$, koniec pręta przesunie się wzdłuż prostej ${\overline {DC_{3}}}$. Punkt $C$ przemieści się do punktu $C_{3}$ czyli do przecięcia wyżej omawianych prostych. Składowa pozioma i pionowa przemieszczenia wynoszą:

$f_{x}=\Delta l_{2}$

$f_{y}={\overline {C_{2}D}}ctg\alpha$

${\overline {C_{2}D}}={\overline {C_{2}C}}+{\overline {CD}}=\Delta l_{2}+{\frac {\Delta l_{1}}{cos\alpha }}$

$f_{y}=\Delta l_{2}ctg\alpha +{\frac {\Delta l_{1}}{sin\alpha }}$

Zadanie 2.4

Zadanie 2.4.

Oblicz o jaki kąt obróci się pręt drugi wokół punktu $C$ dla układu pokazanego na rysunku obok obciążony siłą $P$. W tym przypadku należy przyjąć że jedynie pręt pierwszy jest rozciągany, natomiast pręt drugi jest nieważki i niepodatny na działanie siły $P$. Oba pręty są zamocowane do ściany na podporze przegubowej stałej (punkty: $B;C$), oraz połączenie tych prętów jest przegubowe (punkt: $D$).

Długość pręta pierwszego wynosi $l$, a jego sztywność $EA$

Rozwiązanie

Siła rozciągająca pręt zależy od kąta między prętem pierwszym a drugim oraz od usytuowania połączenia przegubowego między prętami (punkt: $D$) czyli jakie są długości ramion dźwigni jednostronnej.

$S=P{\frac {\overline {AC}}{\overline {DC}}}sin\alpha$

Dla uproszczenia przyjmujemy że odcinek ${\overline {AD}}=a$ natomiast odcinek ${\overline {DC}}=2a$, wtedy wydłużenie pręta wynosi:

$\Delta l={\overline {DD_{1}}}={\frac {3}{2}}{\frac {Pl}{EAsin\alpha }}$

Aby wyznaczyć kąt obrotu należy ustalić najpierw długość odcinka ${\overline {DD_{2}}}$

${\overline {DD_{2}}}={\frac {\Delta l}{sin\alpha }}$

$tg\varphi ={\frac {\overline {DD_{2}}}{\overline {CD}}}={\frac {\Delta l}{2asin\alpha }}={\frac {3Pl}{4aEAsin^{2}\alpha }}$

Statycznie niewyznaczalne

Zadanie 2.5

Obliczyć siły jakie występują w betonowej kolumnie ściskanej siłą osiową $P$ rozłożoną równomiernie na całą powierzchnie. Słup jest o stałym polu przekroju $A$ oraz posiada zbrojenie stalowymi prętami o stałym polu przekroju $A_{S}$.

Długość pręta wynosi $l$, natomiast moduł Younga dla betonu wynosi $E_{B}$ a dla stali $E_{S}$.

Rozwiązanie

Dla przejrzystości wyznaczymy pole powierzchni betonu w przekroju kolumny

$A_{B}=A-A_{S}$

Siła ściskająca $P$ filar rozkłada się na siłę ściskającą pręty stalowe $P_{S}$ oraz na siłę ściskającą beton $P_{B}$

$P=P_{S}+P_{B}$ (warunek równowagi)

Ponieważ pręty są zamurowane w betonie więc odkształcenie wzdłużne betonu i stali są jednakowe

$\Delta l_{S}=\Delta l_{B}$ (warunek nierozdzielności przemieszczeń -> warunek geometryczny)

$\Delta l_{S}={\frac {P_{S}l}{E_{S}A_{S}}}\qquad \qquad \Delta l_{B}={\frac {P_{B}l}{E_{B}A_{B}}}$ (warunki fizyczne)

${\frac {P_{S}l}{E_{S}A_{S}}}={\frac {P_{B}l}{E_{B}A_{B}}}$

Gdy mamy dwa równania i dwie niewiadome wyznaczamy siły działające na pręty stalowe i beton. Najpierw wyznaczymy siłę działającą na stal

$P_{S}=P_{B}{\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}\;=>\;P_{S}=(P-P_{S}){\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}\;=>\;P_{S}+P_{S}{\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}=P{\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}\;=>\;P_{S}(1+{\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}})=P{\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}$

$P_{S}=P{\frac {\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}{1+{\frac {E_{S}A_{S}}{E_{B}A_{B}}}}}$

Przy wyznaczaniu siły działającej na beton postępujemy analogicznie jak wyżej

$P_{B}=P_{S}{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}\;=>\;P_{B}=(P-P_{B}){\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}\;=>\;P_{B}+P_{B}{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}=P{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}\;=>\;P_{B}(1+{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}})=P{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}$

$P_{B}=P{\frac {\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}{1+{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{S}A_{S}}}}}$

Przy założeniu że moduł Younga dla stali wynosi $2,1\cdot 10^{5}MPa$ a betonu $0,3\cdot 10^{5}MPa$ oraz że betonu jest $10$ razy więcej niż prętów stalowych otrzymujemy:

$P_{S}=P{\frac {7}{17}}$ oraz $P_{B}=P{\frac {10}{17}}$ z tego wynika że siła ściskająca beton jest większa niż siła ściskająca pręty stalowe

Zadanie 2.6

Zadanie 2.6.

Wyznaczyć reakcje ścian $R_{A}$ i $R_{B}$ w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu $C$, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi $a+b=L$ natomiast sztywność równa się $EA$. Na pręt działa siła $P$ przyłożona w punkcie $C$.

Rozwiązanie

To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów:

Metoda przecięć

Pierwsze przecięcie dokonujemy między punktami $A$ i $C$ natomiast drugie między punktami $C$ oraz $B$. Ponieważ pręt znajduje się między dwiema nieprzesuwnymi ścianami to zauważamy że całkowite odkształcenie pręta równa się sumie poszczególnych odkształceń tego pręta oraz równa się zeru.

$\Delta l={\frac {R_{A}a}{EA}}+{\frac {(R_{A}-P)b}{EA}}=0$

Obie strony mnożymy przez sztywność $EA$ oraz porządkujemy równanie

$R_{A}a+R_{A}b=Pb\qquad =>\qquad R_{A}=P{\frac {b}{a+b}}$

Natomiast reakcje $R_{B}$ wyznaczamy z równania równowagi: $P=R_{A}+R_{B}$

$R_{B}=P{\frac {a}{a+b}}$

Przemieszczenie punktu $C$ jest równe:

$\delta ={\frac {R_{A}a}{EA}}={\frac {R_{B}b}{EA}}=P{\frac {ab}{EA(a+b)}}$

Metoda superpozycji

Gdyby nie było by ściany prawej czyli $R_{B}=0$ to pręt pod działaniem sił zewnętrznych wydłużył by się o:

$\Delta l_{1}={\frac {Pa}{EA}}$

Gdyby $P=0$ to odkształcenie (skrócenie) wywołane reakcją $R_{B}$ wynosiłoby:

$\Delta l_{2}=-{\frac {R_{B}(a+b)}{EA}}$

Ponieważ wydłużenie całkowite jest równe zeru, to z warunku: $\Delta l_{1}+\Delta l_{2}=0$ wyznaczamy szukane reakcje:

${\frac {Pa}{EA}}-{\frac {R_{B}(a+b)}{EA}}=0\quad =>\quad {\frac {Pa}{EA}}={\frac {R_{B}(a+b)}{EA}}\quad =>\quad R_{B}=P{\frac {a}{a+b}}$

Zadanie 2.7

Zadanie 2.7.

Wyznaczyć reakcje ścian $R_{A}$ i $R_{B}$ w układzie pokazanym obok oraz obliczyć przemieszczenie punktu $C$, między ścianami jest zamurowany pręt którego długość wynosi $a+b=L$. Pręt składa się z dwóch części o różnej sztywności. Na pręt działa siła $P$ przyłożona w punkcie $C$.

Rozwiązanie

To zadanie jest rozwinięciem poprzedniego przypadku gdy mieliśmy do czynienia z jednorodnym prętem o stałym przekroju w tym przypadku mamy dwa materiały i dwa różne pola powierzchni przekroju pręta. To zadanie rozwiążemy metodą przecięć, jak w poprzednim układzie dokonujemy dwóch przecięć:

$\Delta l={\frac {R_{A}a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {(R_{A}-P)b}{E_{B}A_{B}}}=0$

$\Delta l={\frac {R_{A}a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {R_{A}b}{E_{B}A_{B}}}-{\frac {Pb}{E_{B}A_{B}}}=0\quad =>\quad {\frac {R_{A}a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {R_{A}b}{E_{B}A_{B}}}={\frac {Pb}{E_{B}A_{B}}}$ oraz korzystamy z równania równowagi $P=R_{A}+R_{B}$ aby wyznaczyć $R_{B}$

$R_{A}a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+R_{A}b=Pb$

$R_{A}(a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b)=Pb$

$R_{A}=P{\frac {b}{a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}}$

$R_{B}=P-R_{A}=P{\frac {a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}{a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}}-P{\frac {b}{a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}}=P{\frac {a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b-b}{a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}}=P{\frac {a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}}{a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}}$

Powyższe równania można wyznaczyć także w następujący sposób

$R_{A}({\frac {a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {b}{E_{B}A_{B}}})={\frac {Pb}{E_{B}A_{B}}}$

$R_{A}={\frac {Pb}{({\frac {a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {b}{E_{B}A_{B}}})E_{B}A_{B}}}=P{\frac {b}{a{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}+b}}$

Przemieszczenie punktu $C$ wynosi:

$\delta ={\frac {R_{A}a}{E_{A}A_{A}}}={\frac {R_{B}b}{E_{B}A_{B}}}$

Z tej zależności wyznaczamy następujący stosunek:

${\frac {R_{B}}{R_{A}}}={\frac {a}{b}}{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}\quad =>\quad R_{B}={R_{A}}{\frac {a}{b}}{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}=P{\frac {b}{({\frac {a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {b}{E_{B}A_{B}}})E_{B}A_{B}}}{\frac {a}{b}}{\frac {E_{B}A_{B}}{E_{A}A_{A}}}=P{\frac {a}{({\frac {a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {b}{E_{B}A_{B}}})E_{A}A_{A}}}$

Oba równania są sobie równe które jest bardziej przejrzyste dla czytelnika pozostawiam do wyboru.

Ostatecznie przemieszczenie punktu $C$ wynosi:

$\delta =P{\frac {ab}{({\frac {a}{E_{A}A_{A}}}+{\frac {b}{E_{B}A_{B}}})E_{A}A_{A}E_{B}A_{B}}}$