Algebra abstrakcyjna/Grupy cykliczne

G nazywamy grupą cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą generowaną przez jeden element, to znaczy G = <g> = {g^n : n jest liczbą całkowitą}.

Każda grupa cykliczna jest abelowa, tzn. ab = ba, bowiem z definicji grupy cyklicznej, a = g^m, b = g^n, dla pewnych, ustalonych m, n, a dalej ab = g^m g^n = g^(m+n) = g^n g^m = ba.

Ponieważ jednak każda skończona grupa cykliczna rzędu n jest izomorficzna z addytywną grupą reszt z dzielenia przez n, zaś nieskończona --- z addytywną grupą liczb całkowitych, dowód powyższy przemienności grupy cyklicznej jest zbędny. Funkcją wykazującą zadany izomorfizm jest f(g^m) = m (mod n), dla grup skończonych rzędu n i f(g^m) = m, dla grup nieskończonych.

Każda grupa cykliczna może być generowana przez co najmniej dwa różne elementy; jeśli bowiem g jest generatorem grupy G, to również i g^(-1) jest jej generatorem. Natomiast każda grupa cykliczna nieskończona ma dokładnie dwa generatory.

Warunkiem koniecznym na to, by grupa była abelowa jest istnienie elementu, którego rząd jest równy rzędowi grupy. Czytelnik sprawdzi, czy jest to również warunek wystarczający.

Przykładami grup cyklicznych są wymienione wyżej grupy (Z_n, +) oraz grupy pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z jedynki.