Ruch przyspieszony

Wprowadzenie

Zaczniemy od opisania ruchu startującego samolotu. Prześledźmy ten ruch: na początku samolot spoczywa, po pierwszej sekundzie może mieć prędkość 1m/s, po drugiej osiągnie 2m/s, a po trzeciej prędkość będzie równa 3m/s. Po minucie może poruszać się z prędkością np. 60m/s.

To nie jest ruch ze stałą prędkością. Żeby go opisać musimy zdefiniować nową wielkość fizyczną. Tą wielkością jest przyspieszenie, które ma symbol a. Przyspieszenie określa jak zmienia się prędkość. Duża wartość przyspieszenia charakteryzuje ruchy, których zmiany prędkości są duże. Jeśli ruch ma przyspieszenie a, wówczas prędkość v zmienia się w każdej sekundzie o wartość a.

Jeśli ciało rusza z miejsca i po czasie, który oznaczymy t, osiąga prędkość v to przyspieszenie otrzymamy dzieląc prędkość ciała, przez ten czas.

$a={\frac {v}{t}}\,$ .

Można też obserwować zmianę prędkości i przedział czasu, w którym ta zmiana zachodzi. Wtedy przyspieszenie opisuje 'wzór':

a={\frac {{\Delta }v}{{\Delta }t}}

Przykład
Pociąg jadący z prędkością 10m/s przez 60 sekund przyspieszał tak, że osiągnął prędkość 25m/s. Jak jego przyspieszenie ma się do przyspieszenia samochodu, który od 0 do 100km/h rozpędzi się w 14 sekund?

Opiszmy ruch pociągu:

zmiana prędkości oraz czas:

{\Delta }v=25-10=15\,{\mbox{m/s}},\quad {\Delta }t=60\,s

obliczmy przyspieszenie:

a={\frac {15}{60}}=0,25

Z jaką jednostką podamy wynik? Według działań: prędkość (m/s) dzieli się przez czas (s), z tego też otrzymujemy: ${\frac {\mbox{m}}{{\mbox{s}}^{2}}}$ .

Opiszmy ruch samochodu:

zmiana prędkości:

_{\Delta }v_{s}=100\,{\mbox{km/h}}\,=27,7\,{\mbox{m/s}}\qquad -

interesują nas tylko [m/s]

czas:

t_{s}\,=14\,{\mbox{s}}

przyspieszenie:

a_{s}={\frac {27,7}{14}}=1,98\;{\frac {\mbox{m}}{{\mbox{s}}^{2}}}

Przyspieszenie pociągu wynosiło 0,25, natomiast przyspieszenie samochodu: około 2. To znaczy, że samochód przyspieszał znacznie (8 krotnie) szybciej niż pociąg. Prędkość samochodu zmieniała się bardziej niż prędkość pociągu.

Definicja - Ruch jednostajnie przyspieszony, prostoliniowy

Ruch, którego torem jest linia prosta a prędkość rośnie tak, że w każdej sekundzie ruchu przyrost prędkości jest taki sam .

Powtórzmy. W ruchu jednostajnie przyspieszonym, prostoliniowym

tor jest linią prostą,
prędkość rośnie o stałą wartość przyspieszenia w każdej sekundzie ruchu.

Przyspieszenie

Przy opisie ruchu podajemy przyspieszenie - przyspieszenie charakteryzuje ruch. Ta wielkość fizyczna określa, jak zmienia się prędkość. Przyspieszenie jest wektorem. Przyspieszenie oprócz wartości, ma punkt zaczepienia, kierunek i zwrot. Jeśli zwrot przyspieszenia jest taki sam jak zwrot wektora prędkości, wówczas prędkość rośnie.

Jeśli zwrot przyspieszenia jest przeciwny do zwrotu wektora prędkości wówczas wartość prędkości zmniejsza się, ciało hamuje. Ruch, w którym prędkość zmniejsza się to ruch opóźniony.

Wzór na przyspieszenie (postać wektorowa) oraz wykres zależności przyspieszenia od czasu.

przyspieszenie:

{\vec {a}}={\frac {_{\Delta }{\vec {v}}}{t}}\qquad \left[{\frac {m}{s^{2}}}\right]

Przyspieszenie jest stałe (a = const).

Prędkość
Znajdziemy prędkość ciała, które ruszyło z miejsca i poruszało się przez pewien czas z przyspieszeniem a. Skorzystamy ze wzoru na przyspieszenie i wyznaczymy z niego prędkość (zakładamy, że na początku ruchu prędkość miała wartość 0):

prędkość:

{\vec {v}}={\vec {a}}\cdot _{\Delta }t\qquad v=at

Fragment wykresu prędkości od czasu, v rośnie proporcjonalnie do t (ten fragment nie pokazuje początku ruchu).

Droga
W ruchu pojawiło się przyspieszenie, a prędkość stale rośnie - jak to wpływa na przebytą drogę? W ruchach jednostajnie zmiennych droga zmienia się proporcjonalnie do kwadratu czasu. Wzór, który to opisuje w przypadku gdy prędkość początkowa miała wartość 0, ma postać:

droga:

s={\Delta }r={\frac {a\cdot t^{2}}{2}}

Droga zmienia się proporcjonalnie do kwadratu czasu.

Nie zawsze prędkość na początku ruchu zmiennego jest równa zero. Przykładem może być wyprzedzanie się samochodów. W takim przypadku ruch jednostajnie przyspieszony rozpoczyna się gdy samochód już ma jakąś prędkość. Jeśli dodatkowo ciało w chwili rozpoczęcia ruchu jednostajnie zmiennego ma za sobą przebytą drogę to wzór będzie wyglądał tak:

s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}

Ruch opóźniony

Mówimy, że ruch jest opóźniony, gdy przyspieszenie zwrócone jest przeciwnie do wektora prędkości. Prędkość maleje od wartości początkowej v₀ do jakiejś wartości końcowej v_K. Ponieważ wektor przyspieszenia jest zwrócony przeciwnie do wektora prędkości, możemy we wzorach postawić przy nim znak minus:

{\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}\cdot _{\Delta }t\qquad -

w tym miejscu występuje dodawanie przeciwnych wektorów

{\vec {v}}_{0}\;\;{\mbox{i}}\;\;{\vec {a}}

Wzór, który określa wartość prędkości w ruchu opóźnionym

v=v_{0}+(-a)\cdot t

Jeśli zastosujemy tę metodę we wzorze na drogę to otrzymamy:

s=v_{0}t+{\frac {-a\cdot t^{2}}{2}}

Obliczymy ile czasu trwa osiągnięcie przez ciało poruszające się ruchem opóźnionym prędkości równej zero (po jakim czasie t_k ciało zatrzymuje się).

Czas zatrzymania się
Ciało z przyspieszeniem przeciwnym do kierunku ruchu zaczyna zwalniać, do momentu zatrzymania. Jeśli interesuje nas, kiedy ciało się zatrzyma, wystarczy że przekształcimy wzór na prędkość (uwzględniając, że w takiej chwili zatrzymane ciało ma prędkość v=0):

v=0\;

{\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}t

wektor a ma przeciwny zwrot, zmienia się znak:

v=v_{0}-at\;

0=v_{0}-at_{k}\quad \Rightarrow \quad v_{0}=at_{k}\quad \Rightarrow \quad t_{k}={\frac {v_{0}}{a}}

Dodatkowe wzory

Jeśli ze wzoru

v=v_{0}+at\,

wyznaczymy t i podstawimy do czasu w równaniu

s=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}

,

to po przekształceniach otrzymamy tak zwane równanie bez czasu:

v^{2}-v_{0}^{2}=2as

Wzór ten znajduje zastosowanie w obu ruchach - przyspieszonym i opóźnionym. W ruchu opóźnionym prędkość końcowa jest mniejsza od początkowej, co sprawi, że lewa strona równania będzie ujemna (tym samym również prawa), co oznacza, że z prawej strony ujemne będzie przyspieszenie, a więc ruch będzie opóźniony.

Wzór ten możemy wykorzystać do wyprowadzenia kolejnego. Wyznaczmy więc s:

s\,={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}

Jest on prawdziwy dla ruchu przyspieszonego z prędkością początkową. W ruchu przyspieszonym bez prędkości początkowej ( $v_{0}\,=0$ ) wzór przyjmuje postać:

s\,={\frac {v^{2}}{2a}}

Podobnie w ruchu opóźnionym, w którym prędkość końcowa równa jest zero, podstawienie zera uprości wzór do jednej prędkości (jak powyżej).

Zadania

Zad. 1 (przyspieszenie) Pocisk wystrzelony z karabinu porusza się z przyspieszeniem 500 km/s² oraz prędkością początkową 800m/s. Oblicz, jaką przebędzie odległość w ciągu 0,1 sekundy.

dane