GNU Octave/Wartości własne

Wartości własne

Obliczyć wartości własne, wektory własne i wielomian charakterystyczny dla zadanej macierzy

$A={\begin{pmatrix}3&0&3\\2&1&-1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

Zadajemy macierz i używamy funkcji eig:

octave:138> A=[3 0 3; 2 1 -1; 0 0 2]
A =
   3   0   3
   2   1  -1
   0   0   2

octave:139> [v,m]=eig(A)
v =
   0.00000   0.70711  -0.39057
   1.00000   0.70711  -0.91132
   0.00000   0.00000   0.13019

m =
  1  0  0
  0  3  0
  0  0  2

Obliczyliśmy wektory własne (kolumny macierzy v) i wartości własne (wyrazy na diagonali macierzy m). Sprawdzamy: jeśli $X$-wektor własny o wartości własnej $k$ to spełnione musi być równanie $AX-kX=0$, czyli

octave:171> X=v(:,2);
octave:172> k=m(2,2);
octave:173> A*X-k*X
ans =
  0
  0
  0

Wielomian charakterystyczny można obliczyć za pomocą funkcji poly:

octave:176> poly(A)
ans =
    1   -6   11   -6

Obliczając ręcznie mamy $\chi (\lambda )=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)=\lambda ^{3}-6\lambda ^{2}+11\lambda -6$.