Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Inne przykłady ciągów

Przykłady ciągów

edytuj

Ciąg harmoniczny

edytuj

Jeśli ciąg harmoniczny oznaczymy jako  , to k-ty wyraz będzie określony wzorem:

 .

Czyli na przykład  ,  , a   itp.

Nazwa pochodzi z fizyki, a dokładniej od tego, że w drgającej strunie kolejne możliwe do uzyskania długości fali stojącej są w stosunku  .

Liczby harmoniczne

edytuj

 , czyli n-ta liczba harmoniczna jest sumą kolejnych n wyrazów ciągu harmonicznego tzn.

 .

Zobaczmy kilka przykładów:

 
 
 

Oznaczenie   jako n-tą liczbę harmoniczną jest powszechnie znane. Jeśli napiszemy  , to raczej wszyscy będą wiedzieli, że chodzi o n-tą liczbę harmoniczną.

Ciąg Fibonacciego

edytuj

Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez  . Z definicji ciągu widzimy, że zachodzi relacja:

 
 
 


Gdy   i  , wówczas  . Podobnie, gdy wiemy, że:

 
 ,

wtedy:

 .


Można łatwo przez indukcję dowieść, że n-ty wyraz tego ciągu wynosi:

  (wzór Bineta)