Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Suma częściowa ciągu

Sumy częścioweEdytuj

suma częściowa

Suma częściowa ciągu to inaczej suma kilku kolejnych wyrazów pewnego ciągu. Najprostszym przykładem może być  , czy też   dla pewnego ciągu  .

Policzmy sumę czterech kolejnych wyrazów ciągu   zdefiniowanego wzorem  . Mamy  ,  ,  ,  , czyli:

 

Podobnie policzmy sumę wyrazów   ciągu arytmetycznego  , gdzie  , a różnica ciągu wynosi -3. Jednak najpierw musimy policzyć ile wynoszą odpowiednie wyrazy. Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

 
 
 
 
 

Zatem suma  .

Sumę kolejnych n wyrazów pewnego ciągu, czyli   z reguły oznaczamy jako  . Kilka przykładów ...:

 
 
 
 

Używając tego oznaczenia możemy zapisać także sumę kolejnych, ale nie koniecznie początkowych wyrazów, na przykład:

 
 
 

W ogólności suma  .

Suma częściowa ciągu arytmetycznegoEdytuj

suma częściowa ciągu arytmetycznego
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

 

Znając to twierdzenie możemy policzyć sumę  . Widzimy, że   i ponadto   i  . Zatem  .

Korzystając z tego wzoru możemy w bardzo prosty sposób znaleźć wzór na sumę n kolejnych liczb naturalnych. Zero możemy pominąć, ponieważ nic nie wnosi do naszej sumy. Zobaczmy -- pierwszą liczbą będzie 1, czyli  , a n-tą liczbą jest  . Ponadto od 1 do n jest dokładnie n liczb. Czyli mamy wzór:

 ,

być może już przez niektórych znany.

Policzmy teraz sumę trzydziestu jeden kolejnych wyrazów ciągu  , gdzie   i  . Wiemy, że  , ale nie znamy wartości  , dlatego musimy wykorzystać wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

 

Teraz tylko zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów:

 
 .

Znajdźmy wzór na sume n początkowych wyrazów ciągu znając jedynie n,   i r. Wiemy ze wzoru na n-ty wyraz, że  . Podstawiając do wzoru na sumę otrzymujemy:

 

Po drobnym przekształceniach mamy:

 
(suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r)

Czy wzór   jest prawdziwy dla dowolnego ciągu arytmetycznego? Odpowiedź, brzmi tak. Aby się o tym przekonać przedstawimy dowód.

Dowód:

Wiemy, że  , a ponieważ   jest ciągiem arytmetycznym, więc  . Z tych dwóch zależności wynika, że:

 ,

sumę tę możemy także przepisać jako (idąc od końca do początku):

 

Dodając obydwie sumy do siebie otrzymujemy:

                     
                       
                     

Wszystkie powyższe sumy posiadają n składników, zatem:

 

Po podzieleniu przez dwa mamy:

 

Czyli dochodzimy do wzoru przedstawionego nieco wyżej.

Suma częściowa ciągu geometrycznegoEdytuj

suma częściowa ciągu geometrycznego
TWIERDZENIE

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

  1. dla ilorazu  :
     
  2. dla ilorazu  
     

Możemy teraz bez problemu obliczyć sumę stu dwójek, czyli  . Nie powinno to sprawić problemu osobie, która nie zna powyższego twierdzenia. Mamy sto dwójek, więc  , proste. Oczywiście możemy wykorzystać odpowiedni wzór. Ponieważ  , więc zastosujemy pierwszego wzór otrzymując  .


Obliczmy sumę 4 kolejnych wyrazów ciągu  , gdzie:

 ,
 .

Ponieważ  , więc wykorzystamy wzór dla  :

 .


Przejdźmy teraz do nieco trudniejszego przykładu. Obliczmy sumę  . Sumę tę tworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Widzimy, że  , ponadto  . Zastanówmy się, z ilu elementów składa się ta suma (czyli ile wynosi n)? Z wzoru ogólnego wynika, że  , a z sumy do policzenia, że  . Więc  , czyli  . Ponieważ  , więc wykorzystamy wzór drugi:

 .


Obliczmy sumę 9 kolejnych wyrazów ciągu   zdefiniowanego wzorem:

 .

Pamiętamy, że każdy ciąg geometryczny zdefiniowany jest wzorem:

 

Zauważmy, że gdybyśmy jako   podstawili 11, a jako q liczbę -10, otrzymalibyśmy taki sam wzór na n-ty wyraz, jaki ma ciąg  . Zatem musi zachodzić  , a  . Możemy teraz wyliczyć sumę, a ponieważ   mamy:

 


Pomyślmy teraz, ile wynosi suma 10 kolejnych wyrazów ciągu zdefiniowanego wzorem:

 

Ze wzoru możemy w łatwy sposób wyliczyć kilka pierwszych wyrazów:

 
 
 
...

Zatem widzimy, że  , a  . Otrzymujemy:

 

Wyznaczmy wzór ogólny na sumę n kolejnych elementów ciągu  , w którym   i  . Ponieważ   możemy ze znanego nam już twierdzenia powiedzieć, że:

 .

Na koniec spróbujmy udowodnić, że ten wzór jest poprawny, nie odwołując się do wcześniej przedstawionego twierdzenia. Wypiszemy najpierw założenia i tezę, a potem przedstawimy dowód.

Założenia:

 
 .


Teza:

 


Dowód:

Sumę   możemy wymnożyć przez  :

 

Teraz odejmijmy od siebie obydwie sumy:

                         
                           
                             


Czyli  , po podzieleniu przez -4 dochodzimy do:

 ,

a co chcieliśmy udowodnić.