Ciąg geometryczny
edytuj
ciąg geometryczny
Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy stały jest iloraz. Zobaczmy to na kilku przykładach:
(
a
n
)
=
(
1
,
2
,
4
,
8
,
16
,
…
)
{\displaystyle (a_{n})=(1,2,4,8,16,\dots )}
(
b
n
)
=
(
2
,
6
,
18
,
54
,
162
,
…
)
{\displaystyle (b_{n})=(2,6,18,54,162,\dots )}
(
c
n
)
=
(
100
,
20
,
4
,
4
5
,
4
25
,
…
)
{\displaystyle (c_{n})=(100,20,4,{\frac {4}{5}},{\frac {4}{25}},\dots )}
(
d
n
)
=
(
10
,
100
,
1000
,
10000
,
100000
,
…
)
{\displaystyle (d_{n})=(10,100,1000,10000,100000,\dots )}
Popatrzmy na ciąg
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
2
1
=
4
2
=
8
4
=
16
8
=
⋯
=
2
{\displaystyle {\frac {2}{1}}={\frac {4}{2}}={\frac {8}{4}}={\frac {16}{8}}=\dots =2}
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})}
6
2
=
18
6
=
54
18
=
⋯
=
3
{\displaystyle {\frac {6}{2}}={\frac {18}{6}}={\frac {54}{18}}=\dots =3}
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle {a_{n+1} \over a_{n}}}
definicja ciągu geometrycznego
DEFINICJA Ciąg , w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym .
iloraz ciągu
Iloraz
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q , czyli:
q
=
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle q={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
(iloraz ciągu)
Jak stąd wynika, musi być
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0}
a
2
=
a
3
=
0
{\displaystyle a_{2}=a_{3}=0}
Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:
a
n
+
1
=
a
n
⋅
q
{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot q}
Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.
wzór ogólny ciągu geometrycznego
Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element
a
1
{\displaystyle a_{1}}
q i wiemy, że zachodzi
a
n
+
1
=
a
n
⋅
q
{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\cdot q}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
2
=
a
1
⋅
q
{\displaystyle a_{2}=a_{1}\cdot q}
a
3
=
a
2
⋅
q
=
(
a
1
⋅
q
)
⋅
q
=
a
1
⋅
q
2
{\displaystyle a_{3}=a_{2}\cdot q=(a_{1}\cdot q)\cdot q=a_{1}\cdot q^{2}}
a
4
=
a
3
⋅
q
=
(
a
1
⋅
q
2
)
⋅
q
=
a
1
⋅
q
3
{\displaystyle a_{4}=a_{3}\cdot q=(a_{1}\cdot q^{2})\cdot q=a_{1}\cdot q^{3}}
a
5
=
a
4
⋅
q
=
(
a
1
⋅
q
3
)
⋅
q
=
a
1
⋅
q
4
{\displaystyle a_{5}=a_{4}\cdot q=(a_{1}\cdot q^{3})\cdot q=a_{1}\cdot q^{4}}
... Widzimy, że
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
1
⋅
q
p
e
w
n
a
l
i
c
z
b
a
{\displaystyle a_{1}\cdot q^{pewna\ liczba}}
n-1 , więc otrzymujemy wzór:
a
n
=
a
1
⋅
q
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}}
(wzór ogólny ciągu geometrycznego)
W ciągu geometrycznym
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
a
n
2
=
a
n
−
1
⋅
a
n
+
1
{\displaystyle a_{n}^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}
