Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg geometryczny

Ciąg geometrycznyEdytuj

DefinicjaEdytuj

ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy stały jest iloraz. Zobaczmy to na kilku przykładach:

  •  
  •  
  •  
  •  

Popatrzmy na ciąg  . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście  . Podobnie w ciągu   mamy  . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym   jest stałe.

definicja ciągu geometrycznego
 
DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

iloraz ciągu

Iloraz   nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

 
(iloraz ciągu)

Jak stąd wynika, musi być   w przeciwnym wypadku   i powyższy wzór nie daje się zastosować.

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

 ...

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólnyEdytuj

wzór ogólny ciągu geometrycznego

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element  , a także iloraz q i wiemy, że zachodzi  . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  • ...

Widzimy, że   jest postaci  , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

 
(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym   także zachodzi:

 
TWIERDZENIE

Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1)  , to (an) jest ciągiem rosnącym;
2)  , to (an) jest ciągiem malejącym;
3)  , to (an) jest ciągiem malejącym;
4)  , to (an) jest ciągiem rosnącym;
5)  , to (an) nie jest ciągiem monotonicznym.