Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetycznyEdytuj

DefinicjaEdytuj

ciąg arytmetyczny, definicja ciągu arytmetycznego

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

  •  
  •  
  •  
  •  

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu   o 10. W   już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

 
DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy   będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ   i  , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

różnica ciągu

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że   to pewien wyraz,   to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica   będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

 
(różnica ciągu)

Wzór ogólnyEdytuj

wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Powróćmy do ciągu  . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz  , a różnica ciągu wynosi  . Ponieważ  , więc  , podobnie  ,   itd. Więc zrobimy tak:

 
 
 
 
 
 
...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postaci 3 + ileś · 10, a to "ileś" dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór  .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu  , gdzie wiemy ile wynosi   i znamy różnicę ciągu  . Czyli:

  jest dane
 
 
 
...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

 
(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że   oraz  . Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy:   Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy:  

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego   zachodzi:

 

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

  • ciąg jest rosnący, gdy różnica  ,
  • ciąg jest stały, gdy różnica  ,
  • ciąg jest malejący, gdy różnica  .

Łatwo to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla   ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

 
DEFINICJA

  jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy:  

Załóżmy więc, że   oraz:  , zbadajmy różnicę  :  

Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica c–b jest dodatnia (b<c). Zatem  , co oznacza, że ciąg jest rosnący.