Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciągu

monotoniczność ciągu

ciąg rosnący

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

$(a_{n})=(5,10,30,50,90,100,1000,10000)\$

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli $5<10<30<50<\dots <10000$. Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli $a_{n}<a_{n+1}\$, a to możemy zapisać jako:

$a_{n+1}-a_{n}>0\$

DEFINICJA Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}>0\,$

ciąg malejący

Podobnie ciąg:

$(b_{n})=(1000,999,998,997,996,995,994,\dots )$

będzie ciągiem malejącym, ponieważ $1000>999>998>997>\dots$. W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli $a_{n}>a_{n+1}\$, czyli:

$a_{n+1}-a_{n}<0\$

DEFINICJA Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}<0\,$

ciąg niemalejący

Zobaczmy kolejny przykład:

$(c_{n})=(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\dots )$.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. $c_{2}=c_{3}=2\$. Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

$a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0$

DEFINICJA Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0\,$

ciąg nierosnący

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

$(d_{n})=(16,16,16,8,8,8,4,4,4,2,2,2,\dots )$

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

$a_{n+1}-a_{n}\leqslant 0$

DEFINICJA Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby $n\in \mathbb {N} _{+}\,$ spełniona jest nierówność $a_{n+1}-a_{n}\leqslant 0\,$

$(e_{n})=(-5,-5,-5,-5,\dots )$ Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.

DEFINICJA Ciąg $(a_{n})$ nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

ciąg niemonotoniczny

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

$(f_{n})=(1,-10,203,-50,30,40,-80,100,\dots )$

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

DEFINICJA Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.