Matematyka dla liceum/Ciągi liczbowe/Monotoniczność ciągu

Monotoniczność ciąguEdytuj

monotoniczność ciągu
ciąg rosnący

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Spójrzmy na ciąg:

 

Domyślamy się, że ciąg ten jest ciągiem rosnącym, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli  . Ogólnie mówiąc n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli  , a to możemy zapisać jako:

 
 
DEFINICJA

Ciąg   nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby   spełniona jest nierówność  

ciąg malejący

Podobnie ciąg:

 

będzie ciągiem malejącym, ponieważ  . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli  , czyli:

 
 
DEFINICJA

Ciąg   nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby   spełniona jest nierówność  

ciąg niemalejący

Zobaczmy kolejny przykład:

 .

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np.  . Ciąg ten jest ciągiem niemalejącym, więc zachodzi w nim:

 
 
DEFINICJA

Ciąg   nazywamy ciągiem niemalejącym, jeżeli dla każdej liczby   spełniona jest nierówność  

ciąg nierosnący

Skoro ciąg może być ciągiem niemalejącym, to może i być ciągiem nierosnącym. Stwórzmy odpowiedni przykład:

 

Już wiemy, że ciąg ten jest nierosnący, co oznacza, że zachodzi:

 
 
DEFINICJA

Ciąg   nazywamy ciągiem nierosnącym, jeżeli dla każdej liczby   spełniona jest nierówność  


  Wszystkie wyrazy mają taką samą wartość. Czyli ten ciąg jest stały.
 
DEFINICJA

Ciąg   nazywamy ciągiem stałym, jeżeli wszystkie wyrazy tego ciągu są równe

ciąg niemonotoniczny

Spójrzmy teraz na ten ciąg:

 

Analizując ten przykład nie możemy stwierdzić, że jest on rosnący czy malejący. O takim ciągu mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.

 
DEFINICJA

Ciągiem niemonotonicznym nazywamy ciąg, który nie jest ciągiem monotonicznym.