Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać iloczynowa

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowegoEdytuj

postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy   o współczynnikach rzeczywistych, gdzie   i   są rozwiązaniami trójmianu

1. Jeżeli  , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

 

2. Jeżeli  , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

 

3. Jeżeli  , to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód (informacje dodatkowe)

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:
 
Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.
 
Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:
 
I stosujemy wzór   = (a-b)(a+b)
 
 
 
 
Gdy   to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.


Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

 

 

 

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem - widać na niej od razu rozwiązania trójmianu.

Przykłady - postać iloczynowaEdytuj

  • Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

  • Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie: 

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

 

 

 

 

  więc korzystamy ze wzoru:  . Widzimy, że a = 1.

 

 

  • Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie: 

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

 

 

  - korzystamy więc ze wzoru:  . a jest równe 2.

 

  • Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

 

 

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

 

 

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).