Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na
  • obliczeniu miejsc zerowych,
  • narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
  • wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.
Dla nierówności dwukwadratowych
  • rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. ),
  • uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy . Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
  • np.       i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratoweEdytuj

nierówności kwadratowe, wyróżnik trójmianu kwadratowego
  • Przykład 1.  
  • Przykład 2.  
  • Przykład 3.  
  • Przykład 4.  
  • Przykład 5.  
  • Przykład 6.  



  • Przykład 1

 

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

 

 

 

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach ( ), wcześniej obliczonych:

 

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

 

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

-  - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.


  • Przykład 2

 

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

 

 

 

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

 

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

 

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność  .


  • Przykład 3

 

 

  - czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

 

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:

 


  • Przykład 4

 

 

  - znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

 

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.

 


  • Przykład 5 (R)

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

 

 

 

 

 

 

Szkicujemy wykres funkcji   i zaznaczamy część dodatnią:

 

Rozwiązaniem jest:

 

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

   lub   

Podstawiamy     i rozwiązujemy dwie nierówności:

   lub   

1.    

 
  (pomijamy rysowanie wykresu)

2.    

 
  (także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:

 


  • Przykład 6 (R)

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

 

 

 

 

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

 

 

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

  1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
  2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

  lub  

czyli

  lub  

Rozwiązaniem pierwszego układu jest  , natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

 

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.