Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe
Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego
edytujDowód (informacje dodatkowe)
Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:
Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni ( ). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:
- 1. Gdy , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
- 2. Gdy , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:
- / Pierwiastkujemy obustronnie
- Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).
- 3. Gdy , otrzymujemy:
- / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z
- Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
- Przypadek 1: dla - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.
- Przypadek 2: dla - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:
- więc, dla rozwiązaniami są oraz .
Równania kwadratowe - w skrócie
edytuj- Wzory na miejsca zerowe
- dla 2 miejsca zerowe: ,
- dla 1 miejsce zerowe: ,
- dla miejsca zerowe nie istnieją.
- Metoda wyłączania wspólnego czynnika
- równanie postaci np.
- przekształcamy do , po czym rozwiązujemy: x=0 oraz (x+1) = 0.
- Wzory skróconego mnożenia
- np.
- np.
- Równanie dwukwadratowe
- równanie postaci rozwiązujemy metodą podstawiania,
- przy założeniu rozwiązujemy ,
- uzyskane pierwiastki , które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.
Przykłady - równania kwadratowe
edytujRozwiąż równania:
- Przykład 1.
- Przykład 2.
- Przykład 3.
- Przykład 4.
- Przykład 5.
- Przykład 6.
- Przykład 7. (równanie dwukwadratowe)
- Przykład 8.
- Przykład 9. (równanie z modułem)
- Przykład 1
Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą: .
Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).
Równanie ma więc dwa rozwiązania: i .
- Przykład 2
Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie . Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian na postać iloczynową:
Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są: 2 oraz -2.
- Przykład 3
Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.
Pierwszy sposób - przez deltę:
Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:
Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:
Przyrównujemy w myślach i ...
Otrzymujemy:
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.
Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).
- Przykład 4
Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:
Rozwiązaniami tego równania są liczby
- Przykład 5
Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:
Powyższe równanie zachodzi gdy:
lub
Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.
Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.
- Przykład 6
Policzmy deltę:
Wystarczy zauważyć, że - równanie nie ma więc rozwiązań.
- Przykład 7
Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.
Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:
Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.
Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki oraz .
Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):
Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.
Najpierw, dla t=-1
Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.
Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ Zauważmy, że samo równanie jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.
Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.
Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy
Równanie ma dwa rozwiązania: i (patrz na przykład nr 2).
Po obliczeniu pierwiastków i dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia można dodać warunek . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.
- Przykład 8 (R)
Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób. Mianowicie -
Gdybyśmy chcieli to równanie "zwinąć" zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia (nie patrząc na wyraz wolny), to widać, że wyszłoby wyrażenie: Co teraz zrobić, aby równość zaszła? Wystarczy, że odejmiemy " , czyli w tym przypadku 9,do tego odejmujemy jeszcze nasze "prawdziwe" 7.
Teraz po kolei liczymy:
/ Pierwiastkujemy obustronnie
Korzystamy z własności: , po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną jest opisane w dziale Liczby i ich zbiory. |
W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)
- Przykład 9 (R)
Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy i drugi, gdy .
1 przypadek dla
- Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
- Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem .
Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia , więc nie jest rozwiązaniem.
2 przypadek: dla
- Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.
- Teraz nie spełnia naszego założenia , odrzucamy go więc.
Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania: i .