Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe


Miejsca zerowe trójmianu kwadratowegoEdytuj

miejsce zerowe funkcji kwadratowej
TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy     o współczynnikach rzeczywistych,  .

1. Jeżeli  , to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

 

2. Jeżeli  , to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

 

3. Jeżeli  , to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

 

 

 

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni ( ). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy  , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
2. Gdy  , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:
      / Pierwiastkujemy obustronnie
 
Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).
3. Gdy  , otrzymujemy:
     / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z    
 
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:
Przypadek 1: dla   - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.
 
 
 
Przypadek 2: dla   - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:
 
 
 
więc, dla   rozwiązaniami są      oraz    .

Równania kwadratowe - w skrócieEdytuj

Wzory na miejsca zerowe
  • dla     2 miejsca zerowe:   ,
  • dla      1 miejsce zerowe:    ,
  • dla      miejsca zerowe nie istnieją.
Metoda wyłączania wspólnego czynnika
  • równanie postaci np.    
  • przekształcamy do    , po czym rozwiązujemy:   x=0   oraz   (x+1) = 0.
Wzory skróconego mnożenia
  • np.   
  • np.   
Równanie dwukwadratowe
  • równanie postaci      rozwiązujemy metodą podstawiania,
  • przy założeniu       rozwiązujemy   ,
  • uzyskane pierwiastki   ,  które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Przykłady - równania kwadratoweEdytuj

równanie kwadratowe, wyróżnik trójmianu kwadratowego

Rozwiąż równania:

  • Przykład 1.  
  • Przykład 2.  
  • Przykład 3.  
  • Przykład 4.  
  • Przykład 5.  
  • Przykład 6.  
  • Przykład 7.   (równanie dwukwadratowe)
  • Przykład 8.  
  • Przykład 9.   (równanie z modułem)

  • Przykład 1

 

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:   .

 

 

 

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

 

 

 

 

 

 

Równanie ma więc dwa rozwiązania:    i   .


  • Przykład 2

 

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie   .  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

 

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian     na postać iloczynową:

 

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.


  • Przykład 3

 

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

 

 

 

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

 

 

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

 

Przyrównujemy w myślach       i    ...
 

Otrzymujemy:

 

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).


  • Przykład 4

 

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiązaniami tego równania są liczby     


  • Przykład 5

 

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

 

 

Powyższe równanie zachodzi gdy:
    lub    

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.


  • Przykład 6

 

Policzmy deltę:

 

 

 

Wystarczy zauważyć, że     - równanie nie ma więc rozwiązań.


  • Przykład 7

 

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

 

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

 

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki       oraz    .

 

 

 

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

 

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

 

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

 

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ   Zauważmy, że samo równanie       jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

 

 

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy    

Równanie ma dwa rozwiązania:   i   (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków   i   dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia   można dodać warunek  . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.


  • Przykład 8 (R)

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób. Mianowicie -

Gdybyśmy chcieli to równanie "zwinąć" zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia (nie patrząc na wyraz wolny), to widać, że wyszłoby wyrażenie:   Co teraz zrobić, aby równość zaszła? Wystarczy, że odejmiemy " , czyli w tym przypadku 9,do tego odejmujemy jeszcze nasze "prawdziwe" 7.

Teraz po kolei liczymy:

 

      / Pierwiastkujemy obustronnie

 

 

Korzystamy z własności:    ,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

 

 

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)


  • Przykład 9 (R)

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

 

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy   i drugi, gdy  .

1 przypadek dla  

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:
 
Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem  .
 
 
 

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia  , więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla  

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.
 
 
 
 
Teraz   nie spełnia naszego założenia  , odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania:     i   .