Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby

wartość bezwzględna, definicja wartości bezwzględnej
Definicja
DEFINICJA

Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem:
.

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.

WłasnościEdytuj

własności wartości bezwzględnej

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Interpretacja geometrycznaEdytuj

interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

 

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględnąEdytuj

rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną, równania z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

  •  


Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

 

 

 

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

 

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale   i dodatnie w przedziale  . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale   i dodatnie w przedziale  . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

  1.   gdzie oba wyrażenia są ujemne
  2.   gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
  3.   gdzie oba wyrażenia są nieujemne

 

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli   trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.


 

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

 

 

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale   równanie nie ma rozwiązań.


 

 

 

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale   każda liczba spełnia równanie.


 

 

 

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:

 

Przykład 3.

 


Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

 

 

 


W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

 

 

 

W tym przedziale nie ma rozwiązań.


 

 

 

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.


 

 

 

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.


 

 

 

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.


Podsumowując:

 


To samo można zapisać w postaci:

 

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględnąEdytuj

rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną, nierówności z wartością bezwzględną

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

  •  
  •  
  •  
  •  

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:


  wykorzystując własność  , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

 
 

Odp.  .