Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Wartość bezwzględna liczby
DEFINICJA Wartość bezwzględna liczby jest określona wzorem: |
Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.
Zobaczmy kilka przykładów:
Bezwzględna wartość to odległość liczby od zera.
Własności
edytujDla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:
Interpretacja geometryczna
edytujWartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:
Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną
edytujPrzy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:
Przykład 1.
W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:
Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:
Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartością bezwzględną jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale i dodatnie w przedziale . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):
- gdzie oba wyrażenia są ujemne
- gdzie pierwsze jest nieujemne a drugie ujemne
- gdzie oba wyrażenia są nieujemne
W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy obliczyć równanie do każdego z przedziałów.
W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:
Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale równanie nie ma rozwiązań.
Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale każda liczba spełnia równanie.
Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując wcześniejsze obliczenia otrzymujemy wniosek, iż:
Przykład 3.
Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.
W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.
W tym przedziale nie ma rozwiązań.
Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.
Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.
Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.
Podsumowując:
To samo można zapisać w postaci:
Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną
edytujPrzy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:
W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:
wykorzystując własność , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:
Odp. .