Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przedziały liczbowe

przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

  • Przykład 1. - przedział domknięty
  • Przykład 2. - przedział otwarty
  • Przykład 3. - przedział lewostronnie otwarty
  • Przykład 4. - przedział nieograniczony
  • Przykład 5.

Przedział domkniętyEdytuj

przedział domknięty

W podręczniku używany jest zapis   oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią:  . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

  • Przykład 1. Pisząc   mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy  , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc   mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:
 
DEFINICJA

Przedziałem domkniętym   o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  .

 

Przedział liczbowy   zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

 

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwartyEdytuj

przedział otwarty
  • Przykład 2. Za pomocą   oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale   znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.
 
DEFINICJA

Przedziałem otwartym   o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  .

 

Przedział otwarty   na osi zaznaczymy w ten sposób:

 

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwartyEdytuj

przedział lewostronnie otwarty, przedział prawostronnie domknięty
  • Przykład 3.   oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:
 
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym)   o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  .

 


Przedział   na osi liczbowej zaznaczymy tak:

 

przedział prawostronnie otwarty, przedział lewostronnie domknięty

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

 
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym)   o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek  .

 

Przedziały nieograniczoneEdytuj

przedział nieograniczony

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności --  .

  • Przykład 4. Przez   oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od  . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez  .
przedział lewostronnie otwarty nieograniczony, przedział lewostronnie domknięty nieograniczony
 
DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym   nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym   nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

 
 

Przedział   możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

 

  • Przykład 5.   oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez   będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.
przedział prawostronnie otwarty nieograniczony, przedział prawostronnie domknięty nieograniczony
 
DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym   nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym   nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.

 
 

Przedział   analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

 

Działania na przedziałachEdytuj

działania na przedziałach

Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.


  • Przykład 6

Wyznaczmy  ,  ,  ,  ,   i  , gdzie  , a  

Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

 

Z rysunku widzimy, że:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •