Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Przedziały liczbowe

przedziały liczbowe

Spójrzmy na kilka przykładów, które za chwile omówimy:

Przykład 1. $<-4;7>\,$ - przedział domknięty
Przykład 2. $(-4;7)\,$ - przedział otwarty
Przykład 3. $(-4;7>\,$ - przedział lewostronnie otwarty
Przykład 4. $(-4;+\infty )$ - przedział nieograniczony
Przykład 5. $(-\infty ;5)$

Przedział domknięty

przedział domknięty

W podręczniku używany jest zapis $<a;b>\;$ oznaczający przedział domknięty, jednak może on być znany czytelnikowi również pod postacią: $\langle a;b\rangle$ . Będziemy jednak używać pierwszego sposobu, gdyż drugi jest często używany do oznaczania pary liczb.

Przykład 1. Pisząc $<-4;7>\;$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy $<-50;-20>\,$ , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc $<a;b>\,$ mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od a do b, łącznie z a i b (oczywiście a i b są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak:

DEFINICJA

Przedziałem domkniętym $<a;b>\,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a\leqslant x\leqslant b$ .

<a;b>=\{x\in \mathbb {R} :a\leqslant x\leqslant b\}

Przedział liczbowy $<-4;7>\,$ zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

Przedział otwarty

przedział otwarty

Przykład 2. Za pomocą $(-4;7)\,$ oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale $(a;b)\,$ znajdują się wszystkie liczby, które są większe od a i mniejsze od b. Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb a i b.

DEFINICJA

Przedziałem otwartym $(a;b)\,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a<x<b\,$ .

(a;b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}

Przedział otwarty $(-4;7)\,$ na osi zaznaczymy w ten sposób:

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami niezamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

Przedział lewostronnie otwarty

przedział lewostronnie otwarty, przedział prawostronnie domknięty

Przykład 3. $(-4;7>\,$ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b dla a<b w ten sposób:

DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym) $(a;b>\,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a<x\leqslant b$ .

(a;b>=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leqslant b\}

Przedział $(-4;7>\,$ na osi liczbowej zaznaczymy tak:

przedział prawostronnie otwarty, przedział lewostronnie domknięty

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) $<a;b)\,$ o końcach a i b (dla a<b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek $a\leqslant x<b$ .

<a;b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leqslant x<b\}

Przedziały nieograniczone

przedział nieograniczony

Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- $\infty$ .

Przykład 4. Przez $(-4;+\infty )$ oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od $+\infty )$ . Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez $<-4;+\infty )$ .

przedział lewostronnie otwarty nieograniczony, przedział lewostronnie domknięty nieograniczony

DEFINICJA

Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym $(a;+\infty )$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych od a. Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym $<a;+\infty )$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x większych bądź równych a.

(a;+\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x>a\}

<a;+\infty )=\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant a\}

Przedział $<-4;+\infty )$ możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

Przykład 5. $(-\infty ;5>$ oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez $(-\infty ;5)$ będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.

przedział prawostronnie otwarty nieograniczony, przedział prawostronnie domknięty nieograniczony

DEFINICJA

Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym $(-\infty ;a)$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych od a. Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonym $(-\infty ;a>$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x mniejszych bądź równych a.