Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Postać kanoniczna i wykres funkcji kwadratowej

Wykres funkcji kwadratowej

wykres funkcji kwadratowej, parabola

Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.

Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji $y=x^{2}\,$ dla kilku kolejnych argumentów.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y=x^{2}$	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y. Punkty te nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:

Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji  $y=-x^{2}\,$

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y=-x^{2}$	-16	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9	-16

Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:

Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji  $y=x^{2}$ , symetrycznie względem osi OX.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

postać kanoniczna funkcji kwadratowej, wierzchołek paraboli

Jest to przekształcona postać ogólna funkcji kwadratowej. Znacznie ułatwia rysowanie wykresu funkcji. Równanie postaci kanonicznej:
$f(x)=a(x-p)^{2}+q\,$

• gdzie:  $p=-{\tfrac {b}{2a}}$,  natomiast  $q=-{\tfrac {\Delta }{4a}}=f(p)$,
• wartości  p i q  nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli  $W(X_{w},\;Y_{w})$,  czyli  Xw = p,  Yw = q.

Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Postać kanoniczna jest równoznaczna postaci ogólnej - przykładowo, funkcje  $f(x)=2x^{2}-4x+7$  i  $f(x)=2(x-1)^{2}+5$  są sobie równe - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch różnych zapisach.

Aby narysować wykres funkcji, mając do dyspozycji postać kanoniczną, wystarczy wykres $y=ax^{2}$  przesunąć o wektor $[p,\,q]$.

Dowód (informacje dodatkowe)

Aby udowodnić równość postaci ogólnej i kanonicznej, porównajmy obie do siebie:

$ax^{2}+bx+c=a(x-p)^{2}+q$

$ax^{2}+bx+c=a(x^{2}-2xp+p^{2})+q$

$ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2apx+ap^{2}+q$

$\color {Red}b\color {Black}x+\color {Blue}c\color {Black}=\color {Red}-2ap\color {Black}x+\color {Blue}ap^{2}+q$

Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: A=0 (x² nie występuje), $B=-2ap$ (czyli wyraz przy x), $C=ap^{2}+q$ (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:

${\begin{cases}b=-2ap\\c=ap^{2}+q\end{cases}}$

${\begin{cases}p={\frac {-b}{2a}}\\q=c-ap^{2}\end{cases}}$

$q=c-a\left({\frac {-b}{2a}}\right)^{2}\quad \quad q=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

$q={\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\quad \quad \quad \quad q={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}$

$q={\frac {-(-4ac+b^{2})}{4a}}\quad \quad q=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$

$q=-{\frac {\Delta }{4a}}$

Aby znaleźć minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>:

• znajdujemy trzy wartości y: f(a), f(b), q
• obliczamy p. Jeżeli wartość p nie należy do przedziału <a,b> - oznacza to, że wierzchołek jest poza podanym przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
• największą z uzyskanych wartości f(a), f(b) oraz (jeśli nie odrzuciliśmy) q przyporządkujemy maksimum, a najmniejszą - minimum.

Przykłady

Uwaga!

Zanim zaczniesz czytać dalej, przypomnij sobie informacje z działu Przekształcanie wykresu funkcji.

• Przykład 1. (rysowanie wykresu)

Rozpatrzmy funkcję $y=(x-4)^{2}+2$. Patrząc na definicję postaci kanonicznej, dochodzimy do kilku wniosków:

1. Współczynnik kierunkowy a jest równy 1. Funkcja ma więc ramiona skierowane ku górze (gdyż a>0).

2. Współczynnik p jest równy 4. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 4 jednostki w prawą stronę układu współrzędnych.

3. Współczynnik q jest równy 2. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 2 jednostki w górę układu współrzędnych.

Punkty 2. i 3. oznaczają to samo, co: funkcję należy przesunąć o wektor [4, 2].

Biorąc pod uwagę trzy powyższe warunki, konstruujemy wykres funkcji, który wygląda następująco:

• Przykład 2. (rysowanie wykresu)

Zad. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję $y=-x^{2}-10x-19$ oraz narysuj jej wykres.

Wypiszmy współczynniki a, b i c z tego równania:

a = -1, b = -10, c = - 19. Współczynnik kierunkowy a jest ujemny, więc ramiona będą skierowane w dół. Obliczmy teraz wartości p oraz q.

$p={\tfrac {-b}{2a}}$

$p={\tfrac {-(-10)}{2\cdot (-1)}}=-5$

$q=f(p)$

$q=-(-5)^{2}-10(-5)-19=6$

Teraz wprowadzamy wartości p i q do wzoru postaci kanonicznej i otrzymujemy:

$y=-(x-(-5))^{2}+6$

$y=-(x+5)^{2}+6$

Mając współrzędne p i q wierzchołka paraboli, rysujemy wykres:

• Przykład 3. (maksimum)

Zad. Napisz wzór funkcji, która osiąga maksimum w punkcie A=(3,4).

Funkcja kwadratowa osiąga maksimum w punkcie wierzchołka paraboli, gdy a<0 ramiona są skierowane do dołu (wierzchołek jest najwyższym punktem - funkcja osiąga w nim więc maksimum), natomiast gdy a>0, ramiona są skierowane do góry (wierzchołek jest najniższym punktem - funkcja osiąga więc w nim minimum). Szukamy maksimum, dlatego musimy założyć, że a < 0. Funkcja osiąga maksimum w punkcie A=(3,4), więc są to jednocześnie współrzędne wierzchołka, otrzymujemy $x_{w}$ oraz $y_{w}$ (kolejno, p i q). Mamy więc p=3 oraz q=4. Możemy zapisać postać kanoniczną:

$y=a(x-3)^{2}+4$

Pozostaje nam nieokreślona wartość a. Musi być ona ujemna, jednak czy wpływa na położenie rozpatrywanego przez nas wierzchołka paraboli? Okazuje się, że jaką wartość nie podstawimy za a, zmieni to jedynie wygląd ramion wykresu, jednak wierzchołek paraboli nadal będzie w punkcjie (3,4). Aby zapisać pełny wzór szukanej funkcji, podstawimy dowolne ujemne a'.

$y=-4(x-3)^{2}+4$

Zapiszmy jeszcze funkcję w postaci ogólnej.

$y=-4*(x^{2}-6x+9)+4$
$y=-4x^{2}+24x-36+4$
$y=-4x^{2}+24x-32$

Jako, że a mogliśmy obrać dowolne (ujemne), możemy wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele wzorów funkcji, spełniających warunki zadania (czyli o wierzchołku paraboli w punkcie (3,4) ).

• Przykład 4. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji  $f(x)=x^{2}-3x-10$ w przedziale <-1, 3>.

Będziemy musieli policzyć 3 wartości - współrzędną y wierzchołka paraboli (o ile czyli wartość x należy do przedziału!) oraz wartości funkcji z krańców podanego przedziału, które to policzymy na poczatku:

$f(-1)=-6$

$f(3)=-10$

Współrzędna x wierzchołka (czyli p):

$p={\frac {-b}{2a}}={\frac {3}{2}}=1.5$

x=1.5 należy do przedziału <-1, 3> (gdyby tak nie było, wierzchołek leżałby poza rozpatrywanym przedziałem, wówczas już nas nie interesuje).

Ponieważ a>0 (a = 1), funkcja osiąga w punkcie wierzchołka minimum, o czym zaraz się przekonamy.

Obliczamy y wierzchołka (czyli q), korzystając z wartości p=1,5.

$f({\frac {3}{2}})=({\frac {3}{2}})^{2}-3\cdot ({\frac {3}{2}})-10={\frac {9}{4}}-{\frac {9}{2}}-10=-{\frac {49}{4}}$

Uzyskaliśmy więc: wartość -6 dla x=-1, wartość -10 dla x=3 oraz wartość $-{\tfrac {49}{4}}$ dla x=1,5. Jak nie trudno się domyśleć, największa wartość będzie szukanym maksimum, najmniejsza - minimum.

Podsumowując, funkcja osiąga minimum dla x= 1,5 oraz maksimum dla x=-1 (biorąc pod uwagę przedzialał <-1, 3>).

• Przykład 5. (minimum i maksimum w przedziale)

Zad. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x)=-x^{2}-4x+12$ w przedziale <-5, 3>.

Analogiczy przypadek jak powyżej.
Badamy wartość funkcji na krańcach przedziałów:

$f(-5)=-(-5)^{2}-4\cdot (-5)+12=-25+20+12=7$

$f(3)=-(3)^{2}-4\cdot 3+12=-9-12+12=-9$

Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału:

$p={\frac {-b}{2a}}={\frac {4}{-2}}=-2$

Wierzchołek paraboli należy do przedziału. Ponieważ a<0, funkcja osiąga w jego punkcie maksimum (ramiona są skierowane do dołu, wierzchołek jest najwyższym punktem).

$f(-2)=-(-2)^{2}-4\cdot (-2)+12=-4+8+12=16$

Funkcja osiąga minimum w punkcie x=3 oraz maksimum w punkcie x = -2.

Czy wiesz, że... Współrzędną $x_{w}$ można wyznaczyć ze wzoru: $x_{w}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ (średnia arytmetyczna), gdzie $x_{1}$ i $x_{2}$ są miejscami zerowymi funkcji (pierwiastkami). Jest to wynikiem tego, że wierzchołek leży zawsze w połowie ich odległości. Współrzędne ekstemum paraboli (wierzchołka) można też łatwo obliczyć za pomocą pochodnej, jednakże rachunek różniczkowy i całkowy nie jest w podstawie programowej liceum.