Przykład 1. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne miejsca zerowe?
Przykład 2. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?
Przykład 3. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?
Przykład 4. Dla jakiej wartości parametru m nierówność jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?
Przykład 5. Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania osiąga minimum?
Przykład 6. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania ujemne?
Przykład 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie?
Przykład 8. Ustal liczbę rozwiązań funkcji w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
Przykład 9. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?
Przykład 1
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne miejsca zerowe?
Wypiszmy współczynniki:
a = 1, b = -m, c = 2
Równanie ma dwa różne miejsca zerowe gdy . Policzmy więc deltę:
Skoro równanie będzie miało dwa różne pierwiastki gdy to musimy rozwiązać odpowiednią nierówność:
Podany wynik warto sprawdzić podstawiając liczby należące i nienależące do przedziału.
W tym miejscu warto zwrócić uwagę na dokładnie ułożoną treść zadania - mamy policzyć kiedy równanie ma dwa różne miejsca zerowe. Gdy przyjmuje się, że funkcja ma dwa miejsca zerowe takie same . Gdybyśmy więc mieli obliczyć dla jakiej wartości parametru m funkcja ma dwa miejsca zerowe musielibyśmy postawić założenie , a nie . Jednak gdy mamy obliczyć kiedy funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe to stawiamy założenie , co jest swoistym paradoksem. Należy więc zawsze dokładnie czytać treść zadania.
Przykład 2
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?
Wypiszmy współczynniki:
a=1, b =-(m-2), c=4
Funkcja ma jedno miejsce zerowe gdy . Obliczmy więc kiedy delta się zeruje.
Teraz tworzymy drugą deltę i obliczamy miejsca zerowe równania
Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla lub . Podany wynik możesz z łatwością sprawdzić podstawiając w odpowiednie miejsca wartości m.
Przykład 3
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma jedno miejsce zerowe?
Patrząc na ten przykład pozornie nie istnieje różnica pomiędzy nim, a przykładem poprzednim. Jest jednak jeden bardzo ważny element - co jeśli m będzie równe 1 lub -1? Wtedy po podstawieniu w odpowiednie miejsce współczynnik a "zwinie się", i otrzymamy funkcję liniową. Musimy więc rozpatrzeć tutaj 3 przypadki. Pierwszy gdy m=1, drugi gdy m=-1 i trzeci gdy i .
Bardzo ważne jest to, że nie wolno liczyć delty jeśli nie wiemy czy mamy do czynienia z funkcją liniową czy kwadratową - jest to wtedy błąd rzeczowy. Dlatego gdy parametr występuje przy wartości trzeba rozważyć kilka przypadków!
Pierwszy przypadek dla m= -1
Otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Więc parametr m=-1 nie spełnia równania.
Drugi przypadek dla m=1
Czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe dla .
Trzeci przypadek dla i . Teraz możemy policzyć deltę bez obawy, że rozwiązujemy równość liniową.
Znowu mamy równanie kwadratowe.
Jak widać -1 odpada na mocy założenia " i ". Gdybyśmy więc od razu obliczyli deltę to otrzymalibyśmy błędny wynik! Zawsze trzeba dokładnie przyjrzeć się przykładowi zanim zacznie się go rozwiązywać.
Równanie ma więc jedno miejsce zerowe dla i .
Przykład 4
Dla jakiej wartości parametru m nierówność jest spełniona w zbiorze liczb rzeczywistych?
Znowu mamy parametr przy . Zastanówmy się jak musi wyglądać wykres takiej nierówności aby była spełniona dla każdego x. Musi to być parabola całkowicie znajdująca się pod osią OX z ramionami skierowanymi w dół (pomijamy szkicowanie osi OY ponieważ nie ma ona żadnego wpływu na położenie naszej paraboli):
Może to być także stała (a = 0) funkcja liniowa, która znajduje się poniżej osi OX. Sprawdźmy więc co się dzieje gdy m=0.
1 przypadek m=0
Nierówność jest spełniona tylko dla , czyli x nie należy do zbioru liczb rzeczywistych. Teraz zastanówmy się jak doprowadzić parabolę do stanu jak na ilustracji. Po pierwsze współczynnik kierunkowy a musi być mniejszy od 0. Po drugie, nie może być miejsc wspólnych z osią OX, czyli musi być mniejsza od 0. Otrzymamy w ten sposób układ dwóch warunków:
1.
2.
Delta jest zawsze dodatnia ( i ). Czyli układ nigdy nie jest spełniony.
Przykład 5
Dla jakiej wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania osiąga minimum?
Zastanówmy się jakie warunki muszą zostać spełnione aby rozwiązać to zadanie:
Pierwszy warunek jest po to aby pierwiastki w ogóle istniały, drugi aby obliczyć minimum.
W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na sumę kwadratów pierwiastków, który wygląda następująco:
Utwórzmy z tego funkcję i podstawmy odpowiednie wartości:
Funkcja o współczynniku kierunkowym dodatnim osiąga minimum w punkcie wierzchołka:
Punkt . Funkcja więc przyjmie najmniejszą wartość na jednym z krańców określoności:
Funkcja osiąga minimum dla
Przykład 6
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania ujemne?
Wskażmy warunki jakie muszą istnieć aby otrzymać poprawny wynik.
Od razu zauważamy, że współczynnik a musi być różny od 0. Ponieważ gdyby było równy zeru równanie kwadratowe "przeszło by" w równanie liniowe, które nie może mieć dwóch różnych rozwiązań.
Teraz drugi warunek, aby istniały dwa różne pierwiastki:
Aby istniały dwa pierwiastki ujemne ich iloczyn musi być dodatni, a suma ujemna. Dlaczego? Ponieważ iloczyn dowolnych liczb ujemnych jest dodatni (np. ), a suma dowolnych liczb ujemnych jest ujemna (np. ). Mamy więc:
i
Otrzymujemy w ten sposób układ, który należy rozwiązać:
1. - można odgadnąć pamięciowo.
2.
3.
Podaną nierówność można rozwiązać poprzez zamianę ilorazu na iloczyn. Znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu. Taka technika będzie jeszcze omawiana przy okazji funkcji homograficznej/wymiernej.
4.
Podane wyniki zaznaczamy na osi liczbowej (w przeciwnym wypadku łatwo się pogubić)
Wszystkie kolory przecinają się w przedziale:
który jest rozwiązaniem całego zadania.
Przykład 7
Tego przykładu już nie będziemy robić w całości. Wskażemy tylko prawidłowy tok myślenia.
Właściwie to spora część elementów jest taka sama jak w poprzednim przykładzie. Współczynnik a musi być różny od zera i delta większa od zera. Jednak aby istaniały dwa rozwiązania dodatnie muszą być jeszcze spełnione podane warunki:
Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a ich suma także jest liczbą dodatnią. Mamy więc układ podobny jak w poprzednim przykładzie:
Przykład 8
Ustal liczbę rozwiązań funkcji w zależności od parametru m, a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:
Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcje - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale Przekształcanie wykresu funkcji. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).
Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):
Wartość p nie zmienia się, jednak q zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.
q' = 4
Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:
Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:
0 rozwiązań dla
2 rozwiązańia dla
4 rozwiązania dla
3 rozwiązania dla
2 rozwiązania dla
Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:
Przykład 9
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?
Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) . Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:
Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera:
Czyli inaczej i .W ten sposób doprowadzamy parabolę do stanu, który jest podany w zadaniu. Mamy więc układ warunków:
1.
, czyli jest zawsze większa od 0.
2.
W tym miejscu nierówność podwójna, w celu uzyskania większej czytelności, została zapisana jako koniunkcja dwóch nierówności.
a)
b)
3.
4.
Częścią wspólną układu tych warunków jest przedział (najlepiej nałożyć rozwiązania na oś liczbową w celu lepszego odczytania wyniku).