miejsce zerowe funkcji, wyznaczanie miejsca zerowego
|
DEFINICJA
Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 [czyli ].
|
Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.
Funkcja
ma jedno miejsce zerowe dla
. Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie
:
![{\displaystyle x+2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09eab0197c407b4e8bd16d444ab1beda3defc953)
![{\displaystyle x=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3fcffdbfac20f62b54d9d9dca69c3f5ac1c871)
Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.
Funkcja
, gdzie
nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie:
Możemy również sprawdzić to algebraicznie:
![{\displaystyle {\begin{cases}x+3=0\\x\in (-2;+\infty )\end{cases}}\iff {\begin{cases}x=-3\\x\in (-2;+\infty )\end{cases}}\iff x\in \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23177a1b6fada1c6abb90082200df40ecd02ad8)
Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji
.
![{\displaystyle f(x)=0\iff 2(x-2)(x+3)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0900598c825f5e99d25ff8f3f98bb3b81928b3dd)
- możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy
![{\displaystyle (x-2)(x+3)=0\iff (x-2=0\lor x+3=0)\iff (x=2\lor x=-3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5301575518220f46c2f9dddce98197d7c23eaf9)
Zatem
.
Znajdźmy wszystkie x dla których
, a
. Czyli:
![{\displaystyle f(x)=0\iff 9-x^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0bc7803fdbfed056ade489a35b7e5b3cdff99e)
![{\displaystyle x^{2}-9=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dae6629c8531b8587345f8e59c8cc12b38d625)
- Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia
otrzymujemy:
, czyli
lub
.
Zatem
, gdy
lub
.
Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji
.
Dla
(czyli
), funkcję
można wyrażać jako
. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze
.
Dla
(czyli
), funkcję
można wyrażać jako
. Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze
.
Dla
(czyli
i
. funkcja
jest stała z wartością 0.
Zatem
, gdy
.