Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji oznacza, że funkcja jest:

  • rosnąca
  • malejąca
  • nierosnąca
  • niemalejąca
  • stała.

Monotoniczność funkcjiEdytuj

monotoniczność funkcji, funkcja rosnąca, funkcja niemalejąca
 
DEFINICJA

Funkcja   jest rosnąca w zbiorze   wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów   i   należących do zbioru A i   wynika  .

 

Inaczej mówiąc wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.

Analogicznie definiujemy funkcję niemalejącą w zbiorze  , tylko nierówność nie jest ostra. Zachodzi wtedy:

 , dla  

Zauważmy, że gdy nierówność jest rosnąca, to jest również niemalejąca, ale nie musi być odwrotnie.

funkcja malejąca, funkcja nierosnąca
 
DEFINICJA

Funkcja   jest malejąca w zbiorze   wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów   i   należących do zbioru A i   wynika  .

 

Czyli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.

Podobnie możemy określić funkcję nierosnącą w zbiorze  . Mamy wtedy:

 , dla  

Gdy nierówność jest malejąca, to jest również nierosnąca, ale nie musi zajść odwrotnie.


Przykład 1. Przyjrzyjmy się funkcji  .

 

Możemy powiedzieć o tej funkcji, że:

  • jest rosnąca dla  
  • jest malejąca dla  


Przykład 2.

Określmy monotoniczność funkcji na podstawie jej poniższego wykresu. Funkcja ta jest określona dla   (czyli  ).

 

Z wykresu widzimy, że funkcja ta:

  • rośnie w przedziałach   oraz  
  • maleje w przedziałach   oraz  


Przykład 3.

Spójrzmy teraz na najprostszy przykład. Jest to funkcja liniowa  . Wykres tej funkcji będzie wyglądał tak:

 

Widać od razu, że funkcja ta jest malejąca dla wszystkich  .

Przykład 4.

Poniższy wykres przedstawia funkcję niemalejącą.

 

Nazwa bierze się stąd, że wraz ze wzrostem argumentów nie maleją wartości funkcji, czyli dla coraz wyższych x  , gdzie   jest dowolną liczbą mniejszą od x.


Przykład 5.

Poniżej przedstawiono wykres funkcji nierosnącej.

 

Widzimy z wykresu, że wraz ze wzrostem argumentów nie rosną wartości funkcji.

Przykład 6.

Udowodnij na podstawie definicji, że funkcja   jest rosnąca.

Funkcję liniową miałeś okazję poznać już w gimnazjum. Wiesz więc od razu, że jeśli współczynnik kierunkowy jest większy od zera to funkcja jest rosnąca. Jednak w zadaniu mam skorzystać z definicji funkcji rosnącej. Czytamy, że funkcja jest rosnąca, gdy dla dowolnego   zachodzi  .

 

Weźmy więc dowolne   i rozwiązmy nierówność  .

 

 

 

 

 

 

Z założenia mamy, że  , czyli wartość w nawiasie jest zawsze ujemna. Iloczyn liczby dodatniej (2) i dowolnej liczby ujemnej jest ujemny. Czyli nierówność   spełniona jest zawsze, co należało dowieść.