Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Najmniejsza i największa wartość funkcji

Najmniejsza i największa wartość funkcjiEdytuj

najmniejsza wartość funkcji, największa wartość funkcji
 
DEFINICJA

Funkcja   przyjmuje wartość największą   dla pewnego   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   zachodzi nierówność  .

 
DEFINICJA

Funkcja   przyjmuje wartość najmniejszą   dla pewnego   wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego   zachodzi nierówność  .

Przykład 1. Funkcja   przyjmuje wartość najmniejszą   (dla  ).

 

Funkcja ta nie przyjmuje wartości największej, jednak w pewnym przedziale np.   możemy taką znaleźć. W przedziale A będzie to   dla  , natomiast najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie  , dla  .

Przykład 2.

Największa wartości funkcji   wynosi   dla  

 

Wartością najmniejszą w przedziale   będzie  . Nie możemy określić wartości największej w tym przedziale ze względu na to, że funkcja ta jest rosnąca w przedziale B i przedział jest lewostronnie otwarty. Możemy iść ciągle po wzdłuż tej funkcji, coraz wyżej i wyżej, lecz nigdy nie dojdziemy do 1.

Przykład 3.

Spójrzmy na poniższą funkcję, określoną dla  :

 

Przyjmuje ona zarówno wartość największa i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje wartość największą   dla  . Natomiast wartością najmniejszą tej funkcji jest   dla  .

ekstremum funkcji

Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada pewne ala dwie „górki” i jedną „dolinę” położoną między nimi. Wszystkie te „górki” posiadają pewien „szczyt”, czyli miejsce, które jest położone najwyżej, natomiast „dolina” miejsce, które jest położone najniżej. Takie miejsca nazywane są ekstremami funkcji. Formalnie ekstremum funkcji definiuje się jako punkt, w którym funkcja zmienia swoją monotoniczność np. z rosnącej na malejącą.

Przykład 4.

Funkcja   posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą. Wartością najniższą jest   dla  . Wartością najwyższą jest także   i także dla  .

 

W dowolnym niepustym przedziale (nawet otwartym), wartością najwyższa i najniższą będzie także 10.

Przykład 5.

 

Widzimy, że funkcja ta niestety nie przyjmuje wartości największej ani najmniejszej, ale na przykład możemy wziąć sobie przedział  , wówczas wartością największą będzie 1 (dla  ), a najmniejszą -1 (dla  ).