Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Okrąg i koło

Wprowadzamy następującą definicję okręgu:

Okrąg to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a wartość R promieniem okręgu.

Analogicznie wprowadzamy definicję koła:

Koło to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R, lub jest mniejsza od R. Punkt S nazywamy środkiem koła, a wartość R promieniem koła.

Okrąg i koło można przedstawić w układzie współrzędnych jako rozwiązanie równania (okrąg) lub nierówności (koło). Spróbujmy wyznaczyć równanie okręgu. Niech punkt $S=(x_{s},y_{s})$ będzie środkiem okręgu, a $r>0$ jego promieniem. Zgodnie z definicją okrąg to zbiór punktów odległych od $S$ o $r$, zatem dla przykładowego punktu $P=(x,y)$ możemy zdefiniować wektor ${\overrightarrow {SP}}=[x-x_{s},y-y_{s}]$, którego długość będzie równa $r$. Czyli:

${\sqrt {(x-x_{s})^{2}+(y-y_{s})^{2}}}=r$,

ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy podnieść je równoważnie do kwadratu:

$(x-x_{s})^{2}+(y-y_{s})^{2}=r^{2}$,

otrzymując równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Wykonajmy podane działania:

$x^{2}-2x_{s}\cdot x+{x_{s}}^{2}+y^{2}-2y_{s}\cdot y+{y_{s}}^{2}=r^{2}$

Teraz podstawmy:

$a=-2*x_{s},b=-2*y_{s},c={x_{s}}^{2}+{y_{s}}^{2}-r^{2}$

i otrzymujemy:

${x}^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$

czyli równanie okręgu w postaci zredukowanej.