Matematyka dla liceum/Geometria analityczna/Okrąg i koło

Wprowadzamy następującą definicję okręgu:

Okrąg to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R. Punkt S nazywamy środkiem okręgu, a wartość R promieniem okręgu.

Analogicznie wprowadzamy definicję koła:

Koło to figura geometryczna składająca się z wszystkich punktów których odległość od punktu S wynosi R, lub jest mniejsza od R. Punkt S nazywamy środkiem koła, a wartość R promieniem koła.


Okrąg i koło można przedstawić w układzie współrzędnych jako rozwiązanie równania (okrąg) lub nierówności (koło). Spróbujmy wyznaczyć równanie okręgu. Niech punkt będzie środkiem okręgu, a jego promieniem. Zgodnie z definicją okrąg to zbiór punktów odległych od o , zatem dla przykładowego punktu możemy zdefiniować wektor , którego długość będzie równa . Czyli:

,

ponieważ obie strony równania są nieujemne możemy podnieść je równoważnie do kwadratu:

,

otrzymując równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Wykonajmy podane działania:

Teraz podstawmy:

i otrzymujemy:

czyli równanie okręgu w postaci zredukowanej.