Matematyka dla liceum/Logika/Ćwiczenia

Rozgrzewka

1. Podaj trzy przykłady zdań, których wartość logiczna wynosi 0 i trzy zdania, których wartość logiczna wynosi 1.

2. Dane są zdania:

p: Pada deszcz

q:Janek gra na gitarze

r: Mama Janka ogląda polskie seriale

s: Ojciec Janka czyta gazetę

Zapisz zdania:

a) s=>p

b) r=>q

c) p=>r

d) q=>p

3. Które z poniższych wyrażeń jest zdaniem logicznym?

a) Jestem w sklepie.	d) Krowa pije wodę.
b) Stać na rękach.	e) Nie palić!
c) Jak długo szedłeś do sklepu?	f) W Polsce nie ma żółwi.

4. Jak myślisz, czy poprawny jest zapis:

• $(0+1)\iff 1$,
• $(0\lor 1)=1$,
• $1\land (1=1)$?

5. Wypisz wszystkie szesnaście możliwości przypisania wartości logicznych zdaniom p, q, r, s.

Podstawy

6. Oceń wartość logiczną zdań:

a) W sklepie spożywczym można kupić chleb.	d) Liczba 6 jest dzielnikiem liczby 24.
b) $2+2=5$ lub $2+2=4$.	e) Dzielenie przez zero jest niewykonalne i zero nie jest równe zeru.
c) $3=|-3|$ wtedy i tylko wtedy, gdy $4>1$.	f) Jeśli 10 jest liczbą dodatnią, to 5 jest liczbą ujemną.

7. Dane są zdania:

p: w logice 1 oznacza fałsz

q: liczba 25 dzieli się przez 5

Oceń wartość logiczną:

a) $p\land q$

b) $p\lor q$

c) $p\implies q$

d) $p\iff q$

8. Oceń wartość logiczną:

a) $1\land (1\lor 0)$	d) $(1\land 1\lor 0)\land 1$
b) $1\lor (0\land 1)$	e) $[(0\implies \neg 1)\land 0]\iff (0\implies 1)$
c) $(1\implies 0)\land 1$	f) $(0\lor 1)\land (1\implies \neg 1)\land (1\iff 0)$

9. Udowodnij I prawo De Morgana i II prawo De Morgana.

10. Pokaż, że zdanie $\neg p\lor q$ ma taką samą wartość logiczną, co zdanie $p\implies q$ dla dowolnych wartości logicznych zdań p i q.

11. Sprawdź, czy poniższe zdania są tautologiami:

a) $p\implies p$	d) $p\land q\iff [(p\iff q)\land (p\iff 1)]$
b) $p\lor (p\implies q)$	e) $(p\lor q)\implies (\neg p\iff \neg q)$
c) $p\lor (q\land \neg p)$	f) $(p\implies \neg p)\implies (\neg p\land q)$

12. Jurek powiedział takie mądre zdania:

„jeśli mam kanapkę lub ty ją masz, to ja mam kanapkę i ty masz lub ja nie mam kanapki, a ty ją masz”.

Kiedy Jurek skłamie?

13. Które zdanie jest prawdziwe, które fałszywe, a które nie jest zdaniem.

a) $\exists _{x\in \mathbb {R} }\ x=2{,}5$	d) $\exists _{x\in \mathbb {Z_{+}} }\ x=\pi \lor x=e$
b) $\forall _{x\in \mathbb {R} }\ |x|\geq 0$	e) $\forall _{x\in \mathbb {R} }\ {\sqrt {x}}\geq 0$
c) $\forall _{x\in \mathbb {R} }\ x=3$	f) $\forall _{x\in \mathbb {N} }\ \exists _{y\in \mathbb {R} }\ x+\pi =y+{\sqrt {2}}$