Matematyka dla liceum/Logika/Kwantyfikatory

kwantyfikator

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie długich zdań w krótszej formie. Na przykład zdanie „kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest większy bądź równy 0” możemy zapisać krócej $\forall _{x\in \mathbb {R} }\ x^{2}\geq 0$. Podobnie zdanie „sześcian każdej liczby całkowitej dodatniej jest większy od 0”, możemy zapisać $\forall _{n\in \mathbb {Z_{+}} }\ n^{3}>0$ (zbiór liczb całkowitych dodatnich oznaczamy przez $\mathbb {Z_{+}} )$. Zdanie to przeczytamy „dla każdego x należącego do liczb całkowitych dodatnich, sześcian tej liczby jest większy od 0”. Podamy teraz formalną definicję.

kwantyfikator ogólny

DEFINICJA Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez $\forall _{x}$, mówi on, że dane stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym.

Powróćmy teraz do pytania przedstawionego w poprzednim podrozdziale: jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich psów oznaczymy przez ZP, a liczbę łap psa p oznaczymy przez $\zeta (p)$, wówczas możemy napisać:

$\forall _{p\in \mathbb {ZP} }\ \zeta (p)=4$.

Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap $\zeta (p)$ wynosi 4” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.

Czasami dane zdanie nie spełniają wszystkie liczby, lecz zaledwie jedna liczba np. istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0. Jest to tylko jedna liczba -- samo 0. Tak więc zdanie „istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat wynosi 0” możemy zapisać za pomocą pewnego kwantyfikatora: $\exists _{x\in \mathbb {R} }\ x^{2}=0$. Zdanie to przeczytamy „istnieje taka liczba x należąca do liczb rzeczywistych, że kwadrat tej liczby wynosi 0”. Kwantyfikator ten (łatwo zauważyć, że został zapisany jako $\exists )$ nazywany jest kwantyfikatorem szczegółowym.

kwantyfikator szczegółowy

DEFINICJA Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez $\exists _{x}$, mówi on, że istnieje takie x, dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe. Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub kwantyfikatorem egzystencjalnym.

Innymi przykładami do których można zastosować kwantyfikator szczegółowy mogą być zdania:

• Istnieje liczba rzeczywista, która jest mniejsza od 10.
• Istnieje liczba całkowita, dodatnia, która jest podzielna przez 5.
• Istnieje liczba rzeczywista większa od 0.

A jak można napisać, że „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l), jako zdanie mówiące, że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać:

$\exists _{l\in L}\ \neg q(l)$,

co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element l należący do zbioru L, że zdanie q(l), nie jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek l należący do zbioru wszystkich ludzi L, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.

kwantyfikator inne oznaczenia

Czy wiesz, że... Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w szczególności dla liceum) jest oznaczany przez $\bigwedge _{x}$(„dla każdego x...”), a kwantyfikator szczegółowy przez $\bigvee _{x}$(„istnieje takie x, że...”). Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. $\forall$ pochodzi od All (wszystkie), $\exists$ od Exists (istnieje).