Matematyka dla liceum/Logika/Podsumowanie

zdanie

Zdanie

W matematyce zdanie jest rozumiane jako wyrażenie, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.

koniunkcja

Koniunkcja

Jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „i”. Koniunkcję zdań p i q oznaczamy jako $p\land q$, a będzie ono prawdziwe jedynie wtedy, gdy p i q są prawdziwe.

alternatywa

Alternatywa

Alternatywa to zdanie połączone spójnikiem „lub”. Alternatywę zdań p i q jest oznaczana przez $p\lor q$ i jest prawdziwa, gdy któreś ze zdań p i q jest prawdziwe.

negacja

Negacja

Negacja to inaczej zaprzeczenie zdania. Zaprzeczenie zdania p oznaczamy przez $\neg p$, choć można spotkać także zapis $\sim p$, a jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.

implikacja

Implikacja

Implikacja jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „jeżeli..., to...”. Implikację zdań p i q oznaczamy $p\implies q$. Jest ona fałszywa, gdy zdanie p jest prawdziwe, a q fałszywe.

równoważność

Równoważność

Równoważność jest to zdanie złożone połączone spójnikiem „... wtedy i tylko wtedy, gdy ...”. Równoważność zdań p i q oznaczamy przez $p\iff q$. Jest ona prawdziwa, jedynie wtedy, gdy zdanie p i q mają tę samą wartość logiczną.

prawo rachunku zdań, tautologia

Tautologia

Tautologia to inaczej zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe. Aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, należy sprawdzić wszystkie możliwości. Jednymi z praw rachunku zdań są między innymi prawa De Morgana:

• $\neg (p\lor q)\iff \neg p\land \neg q$ (I prawo De Morgana)
• $\neg (p\land q)\iff \neg p\lor \neg q$ (II prawo De Morgana).

kwantyfikatory, kwantyfikator ogólny, kwantyfikator szczegółowy

Kwantyfikatory

Kwantyfikatory umożliwiają zapisanie pewnych zdań w krótszej formie. Do kwantyfikatorów zaliczamy kwantyfikator ogólny, który zapisujemy przez:

$\forall _{x\in X}\ p(x)$,

a który oznacza, że dla każdego x należącego do zbioru X zdanie p(x) jest prawdziwe.

Istnieje także kwantyfikator szczegółowy, który oznaczamy przez:

$\exists _{x\in X}\ p(x)$

i który oznacza, że istnieje takie x w zbiorze X, że zdanie p(x) jest prawdziwe.

W Polsce można spotkać także oznaczenie kwantyfikatora ogólnego jako $\bigwedge _{x\in X}$, a $\bigvee _{x\in X}$ jako kwantyfikator szczegółowy.