Matematyka dla liceum/Planimetria/Czworokąty - zaawansowane

Twierdzenie o przekątnych równoległobokuEdytuj

Suma podwojonych kwadratów długości boków równoległoboku jest równa sumie kwadratów przekątnych tego równoległoboku.

  • Założenia:
    •  
    •  


  • Teza:
    •  


  • Dowód:
  1. W równoległoboku suma kątów musi być równa 360 stopni, co pozwala ułożyć równanie:  
  2. Wyliczamy przekątną   z twierdzenia cosinusów (dla kąta  )
       
  3. Wyliczamy przekątną   z twierdzenia cosinusów (dla kąta  )
       
       
  4. Dodajemy do siebie dwie przekątne
       
  5. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymamy równanie w postaci
       

Twierdzenie o długości odcinka łączącego środki przekątnych trapezuEdytuj

ZałożeniaEdytuj

Dany jest dowolny trapez ABCD, gdzie zakładamy że:

  •  
  •  

Wyliczyć z kolei musimy odległość między środkami przekątnych tego trapezu, przez co wprowadzamy kolejne założenia:

 

 


TezaEdytuj

 


DowódEdytuj

Omawiany trapez przedstawia się w sytuacji jak na załączonym rysunku. Odcinek KL zawiera się w środkowej trapezu ( prosta MN ), co pozwala wprowadzić następujące oznaczenia:  

 

 

Dla ułatwienia można przedstawić sytuacje w postaci dwóch trójkątów:  i  

Trójkąt ADC:

W trójkącie ADC mamy odcinek MK, który jest równy  , ponieważ trójkąty AMK i ADC są podobne (podobieństwo kkk).

   i   

Tak więc i między odcinkami MK i DC zachodzi następująca proporcja:

 

 

Trójkąt ABD:

W trójkącie ABD mamy odcinek ML, który jest równy  , ponieważ trójkąty DML i ABD są podobne (podobieństwo kkk).

   i   

Tak więc i między odcinkami ML i AB zachodzi następująca proporcja:

 

 


Wniosek ostateczny: