Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Elementy kombinatoryki

Elementy kombinatoryki

Silnia

Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np. $1*2*3*4*5$, możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia).

DEFINICJA Silnia z liczby naturalnej n jest oznaczana przez n!. Dla $n=0$ lub $n=1$ wynosi ona 1, natomiast dla $n\geq 2$ jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.

$n!={\begin{cases}1,\quad {\mbox{ gdy }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n,\quad {\mbox{ gdy }}n\geq 2\end{cases}}$

Przykłady:

1. $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$
2. ${\frac {5!}{6!}}={\frac {120}{720}}={\frac {1}{6}}$
3. $3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6=6!=720$
4. ${\frac {(n+2)!}{n!}}={\frac {n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{n!}}=(n+1)\cdot (n+2)$

Permutacje

Jeśli, mając liczbę 1243, zechcemy zamienić miejscami niektóre cyfry, możemy otrzymać np. 4321 lub 1432 lub 3214. Każda z nich jest permutacją zbioru cyfr $\{1,2,3,4\}$.

DEFINICJA Ciąg utworzony ze wszystkich n elementów zbioru nazywamy jego permutacją. Liczbę wszystkich permutacji danego n-elementowego zbioru obliczamy wg wzoru  $P_{n}\,=\,n!$ .

Przykłady:

$P_{2}=2!=1\cdot 2=2$

$P_{7}=7!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7=5040$

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że mamy zbiór składający się z 4 elementów: a, b, c oraz d. Ile możemy ułożyć permutacji? Pierwszy element permutacji wybieramy spośród liter a, b, c i d. Mamy więc 4 możliwości. Gdy już wybierzemy, zostaną nam 3 litery i spośród nich wybierzemy drugi element. Dla każdego wybranego pierwszego elementu drugi możemy wybrać na 3 możliwości. Możemy takich par stworzyć 3*4=12. Dla każdej z 12 par, trzeci element wybierzemy z pozostałych 2 liter, czyli na 2 możliwości, dzięki czemu możemy uzyskać 24 trójki (2*3*4). Zostaje nam jedna litera, która będzie czwartym elementem (tak więc 1 możliwość). Mamy więc 1*2*3*4=24 opcji ułożenia permutacji z 4 liter.

W przypadku, w którym zbiór składałby się z trzech elementów i tymi elementami byłyby a, b oraz c:

$P_{3}=1\cdot 2\cdot 3=6$

1. abc    2. acb

3. bac    4. bca

5. cab    6. cba

Wariacje z powtórzeniami

Ułóżmy dowolną 3-cyfrową liczbę, mając do dyspozycji cyfry 1,2,3,4,5. Może to być np. 134, 325, 222. Wszystkie one są 3-wyrazowymi wariacjami zbioru 5-elementowego.

DEFINICJA Wariacją z powtórzeniami nazywamy ciąg o długości k, którego wyrazy pochodzą z n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich wariacji danego zbioru obliczamy ze wzoru $W_{n}^{k}=n^{k}$ .

Przykłady:

$W_{3}^{2}=3^{2}=9$

$W_{4}^{5}=4^{5}=1024$

$W_{1}^{100}=1^{100}=1$

Wyjaśnienie:

Policzmy, ile można stworzyć wariacji k=2 elementowych ze zbioru n=4 elementów, np. {a,b,c,d}. Pierwszym elementem ciągu (wariacji) może być dowolna z liter a,b,c,d. Są więc 4 możliwości, dla każdej z nich możemy wybrać drugi element, także z liter a,b,c,d. Dla każdego z 4 możliwych pierwszych elementów mamy 4 możliwości wybrania drugiego elementu, razem 4*4=16 możliwych wariacji (z powtórzeniami). Wg wzoru: $W_{4}^{2}\,=\,4^{2}\,=\,16$ .

1. aa     2. ab     3. ac     4. ad

5. ba     6. bb     7. bc     8. bd

Itd.

Wariacje bez powtórzeń

DEFINICJA Wariacją bez powtórzeń nazywamy ciąg k wyrazów, nie powtarzających się, które są elementami danego zbioru o liczności n. Ilość wszystkich wariacji obliczamy ze wzoru $V_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}$ .

Przykład:

$V_{3}^{2}={\frac {3!}{(3-2)!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{1}}=6$

Tzn. mając zbiór n=3 elementowy, np. {a,b,c}, możemy uzyskać 6 wariacji o długości k=2:

1. ab     2. ac

3. ba     4. bc

5. ca     6. cb

Symbol Newtona

Czy wiesz, że... Isaac Newton - matematyk, fizyk, astronom i filozof angielski. Zasłynął odkryciami w fizyce. Był także współtwórcą rachunku różniczkowego i całkowego.

DEFINICJA Symbol Newtona ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}\ ,\;\;{\mbox{gdzie}}\;\;n,k\in \mathbb {N} \;\;{\mbox{i}}\;\;n\geq k.$

Symbol ${n \choose k}$ czytamy n po k lub n nad k.

Warto zapamiętać, że:

1. ${n \choose 0}=1$
2. ${n \choose 1}=n$
3. ${n \choose n}=1$
4. ${n \choose n-1}=n$
5. ${n \choose k}={n \choose n-k}$
6. Pewna równość dla symboli Newtona

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}$

Ciekawostka:
Wyżej wymienione równanie jest wykorzystane w trójkącie Pascala. Obliczamy k-tą liczbę w n-tym wierszu jako wartość ${n \choose k}$. Zauważmy, że każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią (z wyjątkiem jedynek, tworzących "boki" trójkąta).

Kombinacje

W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia.

DEFINICJA Kombinacją k-elementową nazywamy dowolny podzbiór (k- wyrazowy) danego n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich takich kombinacji wyraża wzór:   $C_{n}^{k}={n \choose k}$ .

Przykład:
W urnie znajduje się biała, czarna i niebieska kula (zbiór {b,c,n}). Losujemy z niej 2 kule. W ten sposób uzyskujemy k=2 elementową kombinację zbioru n=3 elementowego. Wszystkich takich kombinacji jest
$C_{3}^{2}\,=\,{3 \choose 2}\,=\,{\frac {3!}{2!(3-2)!}}\,=\,3$

Istotnie, możemy wylosować tylko
1. białą i czarną,
2. białą i niebieską,
3. czarną i niebieską.

> Rozwiązane zadania