Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa/Elementy kombinatoryki

Elementy kombinatorykiEdytuj

SilniaEdytuj

Jeśli mamy wyrażenie, którym jest ciąg mnożeń kolejnych liczb od 1, np.  , możemy zapisać go w skrócie jako 5! (pięć silnia).

 
DEFINICJA

Silnia z liczby naturalnej n jest oznaczana przez n!. Dla   lub   wynosi ona 1, natomiast dla   jest równa iloczynowi wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.

 

Przykłady:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

PermutacjeEdytuj

Jeśli, mając liczbę 1243, zechcemy zamienić miejscami niektóre cyfry, możemy otrzymać np. 4321 lub 1432 lub 3214. Każda z nich jest permutacją zbioru cyfr  .

 
DEFINICJA

Ciąg utworzony ze wszystkich n elementów zbioru nazywamy jego permutacją. Liczbę wszystkich permutacji danego n-elementowego zbioru obliczamy wg wzoru    .

Przykłady:

 

 

Wyjaśnienie:

Załóżmy, że mamy zbiór składający się z 4 elementów: a, b, c oraz d. Ile możemy ułożyć permutacji? Pierwszy element permutacji wybieramy spośród liter a, b, c i d. Mamy więc 4 możliwości. Gdy już wybierzemy, zostaną nam 3 litery i spośród nich wybierzemy drugi element. Dla każdego wybranego pierwszego elementu drugi możemy wybrać na 3 możliwości. Możemy takich par stworzyć 3*4=12. Dla każdej z 12 par, trzeci element wybierzemy z pozostałych 2 liter, czyli na 2 możliwości, dzięki czemu możemy uzyskać 24 trójki (2*3*4). Zostaje nam jedna litera, która będzie czwartym elementem (tak więc 1 możliwość). Mamy więc 1*2*3*4=24 opcji ułożenia permutacji z 4 liter.

W przypadku, w którym zbiór składałby się z trzech elementów i tymi elementami byłyby a, b oraz c:

 

1. abc    2. acb

3. bac    4. bca

5. cab    6. cba

Wariacje z powtórzeniamiEdytuj

Ułóżmy dowolną 3-cyfrową liczbę, mając do dyspozycji cyfry 1,2,3,4,5. Może to być np. 134, 325, 222. Wszystkie one są 3-wyrazowymi wariacjami zbioru 5-elementowego.

 
DEFINICJA

Wariacją z powtórzeniami nazywamy ciąg o długości k, którego wyrazy pochodzą z n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich wariacji danego zbioru obliczamy ze wzoru   .

Przykłady:

 

 

 

Wyjaśnienie:

Policzmy, ile można stworzyć wariacji k=2 elementowych ze zbioru n=4 elementów, np. {a,b,c,d}. Pierwszym elementem ciągu (wariacji) może być dowolna z liter a,b,c,d. Są więc 4 możliwości, dla każdej z nich możemy wybrać drugi element, także z liter a,b,c,d. Dla każdego z 4 możliwych pierwszych elementów mamy 4 możliwości wybrania drugiego elementu, razem 4*4=16 możliwych wariacji (z powtórzeniami). Wg wzoru:   .

1. aa     2. ab     3. ac     4. ad

5. ba     6. bb     7. bc     8. bd

Itd.

Wariacje bez powtórzeńEdytuj

 
DEFINICJA

Wariacją bez powtórzeń nazywamy ciąg k wyrazów, nie powtarzających się, które są elementami danego zbioru o liczności n. Ilość wszystkich wariacji obliczamy ze wzoru   .

Przykład:

 

Tzn. mając zbiór n=3 elementowy, np. {a,b,c}, możemy uzyskać 6 wariacji o długości k=2:

1. ab     2. ac

3. ba     4. bc

5. ca     6. cb

Symbol NewtonaEdytuj

Czy wiesz, że...
Isaac Newton - matematyk, fizyk, astronom i filozof angielski. Zasłynął odkryciami w fizyce. Był także współtwórcą rachunku różniczkowego i całkowego.
 
DEFINICJA

Symbol Newtona  

Symbol   czytamy n po k lub n nad k.

Warto zapamiętać, że:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6. Pewna równość dla symboli Newtona
 

Ciekawostka:
Wyżej wymienione równanie jest wykorzystane w trójkącie Pascala. Obliczamy k-tą liczbę w n-tym wierszu jako wartość  . Zauważmy, że każda liczba jest sumą dwóch stojących nad nią (z wyjątkiem jedynek, tworzących "boki" trójkąta).

 

KombinacjeEdytuj

W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a podzbiorem elementów. Ważna cecha - kolejność nie ma znaczenia.

 
DEFINICJA

Kombinacją k-elementową nazywamy dowolny podzbiór (k- wyrazowy) danego n-elementowego zbioru. Liczbę wszystkich takich kombinacji wyraża wzór:     .

Przykład:
W urnie znajduje się biała, czarna i niebieska kula (zbiór {b,c,n}). Losujemy z niej 2 kule. W ten sposób uzyskujemy k=2 elementową kombinację zbioru n=3 elementowego. Wszystkich takich kombinacji jest
 

Istotnie, możemy wylosować tylko
1. białą i czarną,
2. białą i niebieską,
3. czarną i niebieską.


> Rozwiązane zadania