Matematyka dla liceum/Wielomiany/Wiadomości wstępne

Jednomian

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

DEFINICJA Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

$4\;$	$x\;$	$2a\;$
$3abc\;$	$4b^{3}\;$	${\tfrac {5}{7}}a^{2}$

Wielomiany

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu $x$ możemy dodać $2a$ otrzymując $x+2a$. Innym przykładem sumy jednomianów może być:

• $x^{3}+y^{2}+z^{3}\,$,
• ${\frac {4}{3}}x^{7}+x^{5}+x$,
• $a^{2}+2ab+b^{2}\,$,

a takie coś nazywamy wielomianami.

DEFINICJA Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np. $-a^{2}+b^{2}+4c+d$ będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian $3x+2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian $4x^{2}+3x+1$ będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennej

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako $W(x)$, $P(x)$, $Q(x)$ np.:

• $W(x)=x^{2}+2x-1\,$,
• $P(x)=2x-1\,$,
• $Q(x)=2x^{123}-2x^{122}+2x^{121}-\dots +2x^{3}-2x^{2}+2x^{1}-2$.

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

DEFINICJA Funkcja W określona wzorem $W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_{1}x^{1}+a_{0}$, gdzie $a_{n}\neq 0$ nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie $W(x)=6x^{3}+4x^{2}+3x+2$ współczynnikami będą $a_{3}=6$, $a_{2}=4$, $a_{1}=3$ i $a_{0}=2$.

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie $2x^{3}+x$? Odpowiedź wydaje się prosta, $a_{23}=0$, ponieważ $2x^{3}+x=0x^{23}+2x^{3}+x$.

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że $a_{n}\neq 0$ np. $P(x)=3x^{6}+x^{2}+1$ jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian $Q(x)=0x^{100}+23x+1$ jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ $a_{1}=23$ i każde $a_{>1}=0$.

Zauważmy, że funkcja stała $f(x)=a$ jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa $f(x)=ax+b,\ a\neq 0$ jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa $g(x)=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0$ jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianu

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

• $W_{1}(x)=10x^{3}+5x^{2}+7x+10$,
• $W_{2}(x)=x^{50}+2x^{21}+4x$,
• $W_{3}(x)=x+1$.

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

• $P_{1}(x)=10+7x+5x^{2}+10x^{3}$
• $P_{2}(x)=4x+2x^{21}+x^{50}$
• $P_{3}(x)=1+x$

Równość wielomianów

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich $x$ zachodzi $P(x)=Q(x)$, a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

TWIERDZENIE Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany $A(x)=10x^{3}+3x^{2}+4x$ oraz $B(x)=10x^{3}+3x^{2}+4x$ są równe, ale $C(x)=9x^{5}+4x^{2}+x$ oraz $D(x)=10x^{5}+4x^{2}+x$ nie są równe. Podobnie wielomian $W(x)=x^{4}+x$ jest równy wielomianowi $P(x)={\frac {2x+2x^{4}}{2}}$, ale nie jest równy wielomianowi $P(x)=2x^{4}+2x$. Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian $P(x)={\frac {2x^{3}}{x^{2}}}$ nie jest równy wielomianowi $Q(x)=2x\,$.

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.