Matematyka dla liceum/Wielomiany/Wiadomości wstępne

JednomianEdytuj

Zacznijmy od czegoś prostego, czyli od zdefiniowania czym są jednomiany.

 
DEFINICJA

Jednomian to iloczyn czynników, w którym każdy czynnik jest liczbą lub pewną zmienną.

Jednomianem może być:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

WielomianyEdytuj

Już znamy pojęcie jednomianu. Teraz kilka jednomianów możemy do siebie dodać np. do jednomianu   możemy dodać   otrzymując  . Innym przykładem sumy jednomianów może być:

  •  ,
  •  ,
  •  ,

a takie coś nazywamy wielomianami.

 
DEFINICJA

Wielomian to suma jednomianów .

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych np.   będzie wielomianem czterech zmiennych a, b, c i d. Wielomian   będzie wielomianem dwóch zmiennych x i y, a wielomian   będzie wielomianem jednej zmiennej x. W tym podręczniku mówiąc o wielomianach, będziemy mieli najczęściej na myśli właśnie wielomiany jednej zmiennej.

Wielomiany jednej zmiennejEdytuj

Zauważmy, że wielomiany jednej zmiennej są pewną funkcją, dlatego też dany wielomian będziemy najczęściej zapisywać jako  ,  ,   np.:

  •  ,
  •  ,
  •  .

Przyjmujemy, że dziedziną wielomianu jednej zmiennej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Spójrzmy teraz na poniższą, pełną definicję wielomianu jednej zmiennej.

 
DEFINICJA

Funkcja W określona wzorem  , gdzie   nazywana jest wielomianem jednej zmiennej stopnia n.

Liczby  ,  ,  , ...,   nazywane są współczynnikami wielomianu. W wielomianie   współczynnikami będą  ,  ,   i  .

A ile wynosi współczynnik przy 23 potędze w wielomianie  ? Odpowiedź wydaje się prosta,  , ponieważ  .

W powyższej definicji został wprowadzony stopień wielomianu. Stopień wielomianu to największe takie n, że   np.   jest wielomianem 6. stopnia, ale wielomian   jest wielomianem pierwszego stopnia, ponieważ   i każde  .

Zauważmy, że funkcja stała   jest wielomianem zerowego stopnia. Funkcja liniowa   jest wielomianem pierwszego stopnia, a funkcja kwadratowa   jest wielomianem drugiego stopnia.

Uporządkowanie wielomianuEdytuj

Wielomiany mogą być uporządkowane rosnąco lub malejąco, według rosnących lub malejących wykładników potęg.

Wielomianami uporządkowanymi malejąco będą:

  •  ,
  •  ,
  •  .

Natomiast wielomianami uporządkowanymi rosnąco będą:

  •  
  •  
  •  

Równość wielomianówEdytuj

Wielomiany są funkcją, gdzie zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zatem dwa wielomiany P i Q będą sobie równe, jeśli dla wszystkich   zachodzi  , a z tego z kolei wynika poniższe twierdzenie, które przedstawimy bez dowodu:

TWIERDZENIE

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia, gdy współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe oraz mają te same dziedziny.

Na przykład wielomiany   oraz   są równe, ale   oraz   nie są równe. Podobnie wielomian   jest równy wielomianowi  , ale nie jest równy wielomianowi  . Pamiętajmy, że dziedzina funkcji też ma znaczenie: wielomian   nie jest równy wielomianowi  .

Wielomiany możemy do siebie dodawać i odejmować. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić.