Matematyka dla liceum/Wielomiany/Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie wielomianów

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

$A(x)=4x^{5}+x^{3}+2x^{2}+8x+20$
$B(x)=13x^{5}+7x^{4}+x^{3}+11$

$A(x)+B(x)=4x^{5}+x^{3}+2x^{2}+8x+20+13x^{5}+7x^{4}+x^{3}+11=17x^{5}+7x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+8x+31$

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

$A(x)+B(x)=B(x)+A(x)$ - przemienność

$(A(x)+B(x))+C(x)=A(x)+(B(x)+C(x))$ - łączność

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

$A(x)=4x^{5}+x^{3}+2x^{2}+8x+20$
$B(x)=13x^{5}+7x^{4}+x^{3}+11$

$A(x)-B(x)=4x^{5}+x^{3}+2x^{2}+8x+20-(13x^{5}+7x^{4}+x^{3}+11)=-9x^{5}-7x^{4}+2x^{2}+8x+9$

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne ani łączne:

$A(x)-B(x)\neq B(x)-A(x)$

$(A(x)-B(x))-C(x)\neq A(x)-(B(x)-C(x))$

Ćwiczenia

1) Dodaj wielomiany

• $A(x)=6x^{3}+13x^{2}+20x$ oraz $B(x)=10x^{4}+7x^{3}+2x^{2}+10x+10$
• $C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7$ oraz $D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4$

2) Odejmij wielomiany

• $A(x)=6x^{3}+13x^{2}+20x$ oraz $B(x)=10x^{4}+7x^{3}+2x^{2}+10x+10$
• $C(x)=11x^{20}+120x^{13}+10x^{10}+5x+7$ oraz $D(x)=11x^{21}+3x^{19}+9x^{10}+x-4$

3) $W(x)=4x^{6}+9x^{4}+8x^{3}+5x^{2}+x+1{\mbox{ i }}P(x)=3x^{6}+x^{5}+2x^{4}+2x^{2}+3x+10$ Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

• $W(x)+Q(x)=P(x)$
• $W(x)-Q(x)=P(x)$