Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Rozwiązywanie równań i nierówności


Równania

edytuj

Pewnie pamiętasz, czym jest równanie. Równanie jest to większe wyrażenie składające się z mniejszych wyrażeń połączonych znakiem równości. Najprostsze równanie wygląda mniej więcej tak:

wyrażenie po lewej = wyrażenie po prawej

Lewa strona równania często jest oznaczana przez L, a prawa przez P.

W równaniu z reguły występują jakieś niewiadome oznaczone najczęściej małymi literami.

Przykładami równania mogą być:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

Gdy zadanie zawiera polecenie „rozwiąż równanie”, oznacza to, że musimy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania zamiast pewnej zmiennej (czyli niewiadomej) x, f, czy np. a spełni je, tzn. po lewej i po prawej stronie będziemy mieli te same wartości.

Dla równania   jego rozwiązaniem będzie x równy 1, co wydaje się zresztą oczywiste. Gdy zamiast x podstawimy 1 otrzymamy:

 ,

rzeczywiście obydwie strony równania są sobie równe.

Rozwiązaniem tego równania nie będzie np.  . Dlaczego? Podstawmy zamiast x liczbę 3:

 ,

widać, że coś nie pasuje! Przecież trzy nigdy nie będzie równe jeden: jeśli mamy jedno jajko, to nie zrobimy jajecznicy z trzech jaj.

A następny przykład,  ? Ktoś spostrzegawczy mógłby od razu zauważyć, że gdy zamiast t damy 1, otrzymamy:

 
 

zatem   będzie rozwiązaniem tego równania.

Podobnie dla równania   rozwiązaniem będzie   lub  , ponieważ:

 
 
 
  i jest wszystko się zgadza.

Rozwiązaniem nie będzie  , ponieważ:

 
  i teraz nic nie pasuje.

Tak naprawdę powinniśmy unikać zapisu typu  , bo znak równości powinna oznaczać spełnioną równość, a tu przecież ona nie zachodzi. Możemy co najwyżej zapisać   (4 nie jest równe -1). W takim razie jak to ładniej zapisać?

Zacznijmy od początku. Mamy równanie   i chcemy pokazać, że   nie jest rozwiązaniem. Rozbijamy to równanie na dwie części, na wyrażenie po lewej i wyrażenie po prawej, co zapisujemy następująco:

 ,
 .

Jeśli  , to:

 ,

ale

 ,

a więc:

 .

Równanie nie jest spełnione, zatem   nie jest rozwiązaniem tego równania.

Gdyby zaszła równość  , to równanie zostałoby spełnione przez  , a zatem 3 byłoby rozwiązaniem tego równania.

Nie powinniśmy jednak rozwiązywać równań w tak „brutalny” sposób (tzw. metoda brute force). Zdarza się, że równania mają często więcej niż jedno rozwiązanie, a strzelając, możemy po prostu niektóre pominąć.

Przekształcanie równań

edytuj

Aby ładnie [1], a przede wszystkim poprawnie rozwiązać równanie, powinniśmy je upraszczać przekształcając je krok po kroku do prostszych, ale mu równoważnych równań.

W jaki sposób należy przekształcać równanie? Skorzystamy z faktu, że rozwiązania równania nie ulegną zmianie, gdy:

  1. dodamy (lub odejmiemy) z obu stron równania pewną wartość,
  2. wymnożymy (lub podzielimy) obie strony równania przez dowolną stałą różną od zera.

Gdy mamy równanie, np.  , to liczbę 5 możemy przenieść na prawą stronę równania zmieniając znak na przeciwny, otrzymujemy:

 , czyli
 

i doszliśmy do rozwiązania. Zauważmy, że przeniesienie 5 na przeciwną stronę równania jest równoważne dodaniu do obydwu stron równania -5, dlatego też podczas tej operacji należy zmienić znak na przeciwny:

 
 .

Zapamiętajmy, że przenosząc pewną liczbę z jednej strony na drugą musimy zmienić znak na przeciwny. Zobaczmy na trzy kolejne przykłady:

  • jeśli  , to  ,
  • jeśli  , to  ,
  • jeśli  , to  .

Jeśli równanie chcemy wymnożyć lub podzielić przez pewną liczbę, wówczas najlepiej o tym poinformować wstawiając „/⋅ ...” lub „/: ...”, na przykład:

  •   - obustronnie mnożymy przez 2
  •   - obustronnie dzielimy przez 3
  •   - obustronnie mnożymy przez  .

To koniec teorii. Przejdźmy do praktyki. Rozwiążmy cztery prościutkie równania:

  •   (1)
  •   (2)
  •   (3)
  •   (4)

Idziemy po kolei. Zacznijmy od (1):

 
  - obustronnie dzielimy przez 2
 , które jest poszukiwanym rozwiązaniem.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

 
 
 

Teraz zrobimy (3):

 
 
 

Pozostał ostatni przykład:

 
 
 
 

I to już wszystko na temat równań. Przejdźmy teraz do nierówności.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

edytuj

Mamy do rozwiązania następujące problemy:

  • 2x > 3 (1)
  • 5x - 2 < 2 (2)
  •   (3)
  •   (4)

Jednak na początek trochę teorii.

Nierówności przekształcamy w prawie taki sam sposób jak równania, z jednym wyjątkiem: jeśli obustronnie mnożymy (lub dzielimy) przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny, na przykład:

dla   będziemy mieli:
 
  (nie zmieniamy znaku na przeciwny, 2 nie jest ujemne)
ale dla   będzie:
  (musimy zmienić znak na przeciwny, -2 jest ujemne)
 

Przejdźmy do rzeczy, czyli rozwiążmy powyższe przykłady.

Zaczniemy od (1):

 
 
 

Rozwiążmy teraz nierówność (2):

 
 
 

Teraz możemy przejść do kolejnego przykładu (3):

 
 
 

I został ostatni przykład (4):

 
 
 
 

Przypisy


  1. zdaniem niektórych