Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Podsumowanie

Zbiory

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Słowo zbiór rozumiemy jako pewną mnogość, zestaw, np. zbiór ciastek, zbiór liczb, zbiór uczniów w klasie.

Przyjęto oznaczać zbiory za pomocą wielkich liter, np. A, B, czy też X, natomiast elementy zbioru za pomocą małych, np. a, b, x.

$a\in A\qquad \ -$ element a należy do zbioru A,

$b\notin B\qquad \ -$b nie należy do B,

$C=\{a,c,d,e\}\quad -$ wypisanie elementów zbioru C,

$|C|=4\qquad -$ ilość elementów zbioru, czyli jego moc.

Zbiory liczb

$\mathbb {N} \quad \ -$ zbiór liczb naturalnych (nie zawiera ułamków i liczb ujemnych)

$\mathbb {Z} \quad \ -$ zbiór liczb całkowitych (nie zawiera ułamków), szkolny zapis: C

$\mathbb {Q} \quad \ -$ zbiór liczb wymiernych (nie zawiera liczb, których nie da się zapisać jako ułamek lub liczbę całkowitą), szkolny zapis: W

$\mathbb {R} \quad \ -$ zbiór liczb rzeczywistych, inaczej zbiór (niemal) wszystkich liczb (suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych)

$\varnothing \quad \ -$ zbiór pusty.

Potęga

Potęga o wykładniku naturalnym n:

${\begin{matrix}a^{n}=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} \\&n{\mbox{ czynnik}}{\acute {\mbox{o}}}{w}\\\end{matrix}}$,

przy czym $a^{0}=1$.

Liczba $0^{0}$ nie ma sensu liczbowego.

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

$a^{\frac {m}{n}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}$

Pierwiastek

Jeśli $b={\sqrt[{n}]{a}}$, to $b^{n}=a$

${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$ dla nieparzystych n lub ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=|a|$ dla n parzystych ($|a|$ to wartość bezwzględna liczby).

Kolejność wykonywania działań

1. potęgowanie lub pierwiastkowanie
2. mnożenie lub dzielenie (wg kolejności zapisu)
3. dodawanie lub odejmowanie (kolejność także ważna)

Wzory skróconego mnożenia

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ (kwadrat sumy)
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ (kwadrat różnicy)
• $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ (różnica kwadratów)
• $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ (sześcian sumy)
• $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ (sześcian różnicy)
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ (suma sześcianów)
• $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ (różnica sześcianów)

Przekształcanie równań i nierówności

• Do każdego równania możemy dodać lub odjąć obustronnie dowolną liczbę.
• Przy przenoszeniu pewnej zmiennej lub liczby z jednej na drugą stronę równania/nierówności należy zmienić znak na przeciwny.
• Każde równanie i nierówność można obustronnie wymnożyć przez liczbę różną od 0, jednak przy wymnażaniu nierówności przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny.