Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Ćwiczenia

Podstawy

3. Co może stanowić zbiór, a co element zbioru?

a) książki do geografii	e) bułka słodka	i) głośnik
b) zwierzęta	f) Jacek, Bolek i Agata	j) zielone marchewki
c) kangur	g) litera	k) poziomka
d) kredki	h) wszystkie zbiory	l) zeszyty szkolne

4. Wypisz nieujemne elementy zbioru:

a) liczb naturalnych, mniejszych od 10	c) $\{-25,-16,-9,-4,-1,0,1,4,9,16,25\}$
b) liczb całkowitych mniejszych od 97 i podzielnych przez 5	d) liczb niedodatnich

5. Wyznacz moc zbioru:

a) $A=\{-1,2,10\}$	d) $D=\{1,-2\}$	g) $G=\{\varnothing \}$
b) $B=\varnothing$	e) $E=\{1,5,25,525,1024,235\}$	h) $H=\{\{2,9,15\},\{3,4,5\}\}$
c) $C=\{5\}$	f) $F=\{k,l,p,q\}$	i) $I=\{1,\{2,\{5,6\}\},\{\pi ,e\}\}$

6. Czy do zbioru A należy element a?

a) $A=\{1,2,3\}$, $a=3$	e) $A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}$, $a=1$
b) $A=\{1,2,3\}$, $a=10$	f) $A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}$, $a=\{6,5\}$
c) $A=\{1,2,3\}$, $a=-2$	g) $A=\{-2,\{1,2\},\{2,3,4\}\}$, $a=-2$
d) $A=\{\{1,2\},\{2,3\},\{5,6\}\}$, $a=\{2,3\}$	h) $A=\{-2,\{1,2\},\{2,3,4\}\}$, $a=\{2,3\}$

7. Pokaż, że dowolny niepusty podzbiór liczb naturalnych posiada element najmniejszy.

Ćwiczenia domowe

8. Która z poniższych liczb jest naturalna, całkowita, wymierna, a która niewymierna?

a) $2+2$	e) $1{,}234567891011121314\dots$	i) ${\frac {1}{1-{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}$
b) $2-2$	f) ${\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$	j) $(1-\pi )(1+{\sqrt[{3}]{2}})(1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}})+3\pi$
c) $(1-2)\cdot (1+2)$	g) ${\frac {({\sqrt {3}}-{\sqrt {5}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {5}})}{2}}$	k) $(\pi +1)^{2}$
d) ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}$	h) $(\pi -2)^{2}-\pi ^{2}-4\pi$	l) ${\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {4^{2}+3^{2}}}}$

9. Rozwiąż równania:

a) $5x=10$	d) $-{\sqrt {2}}x-3=4$
b) $3x-3=0$	e) $(4-{\sqrt {2}})(4+{\sqrt {2}})x-16=5$
c) $7x+2=-12$	f) ${\frac {-2x+10}{3}}+2=7$

10. Rozwiąż nierówności:

a) $2x>6$	d) ${\frac {2x-1}{3}}\leq 7$
b) $-5x+6\leq 2$	e) ${\frac {-3x-3}{7}}>4$
c) ${\frac {7}{2}}x-4<8$	f) $(1-{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})x+4\geq 8$

11. Oblicz:

a) $5-3\cdot 2+8$	j) ${\frac {20^{2}-19^{2}}{13}}$
b) $2+9:3-1$	k) ${\frac {(6-3)(36+18+9)}{8+3\cdot 4+3\cdot 2+1}}$
c) $7\cdot (5+4)-9$	l) $3^{5}\cdot 3^{-2}-(5\cdot 3^{2})^{2}+5^{7}\cdot 5^{-5}$
d) $(3+5):4\cdot 2+7$	m) ${\frac {(6+2)(36-12+4)}{2}}$
e) ${\frac {5\cdot (4-3)+15}{4}}$	n) $\left({\frac {1}{2}}\right)^{10}\cdot 2^{-90}-{\frac {1}{4^{50}}}$
f) $((3-5)(4+9)-9)\cdot 3$	o) $999998^{2}+2\cdot 2\cdot 999998+2^{2}$
g) $3\cdot (2+(11-1)\cdot 3)-13$	p) ${\frac {99999\cdot (10^{5}+1)+1}{10^{4}}}$
h) $(5^{2}-3^{2})^{2}-1$	q) $-((-5)^{2}+(-2)^{2})^{2}-(-5^{2}+2^{2})^{2}$
i) ${\frac {(12-3)^{2}-9}{7}}$	r) $((50+1)^{2}-(50-1)^{2})(14^{2}+2\cdot 14+2^{2})-14^{3}$

Ćwiczenia na myślenie

12. Wypiszmy wszystkie podzbiory zbioru $A=\{1,2\}$:

• $\varnothing$, zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
• $\{1\}$
• $\{2\}$
• $\{1,2\}$

a) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:

• $A=\varnothing$
• $B=\{1\}$
• $C=\{1,2,3\}$

b) Ile różnych podzbiorów ma zbiór:

• 4-elementowy
• 5-elementowy
• 10-elementowy
• n-elementowy

13. Pokaż, że:

a) jeśli liczba p i q jest wymierna ($p,q\in \mathbb {Q}$), to liczba p + q także jest wymierna (czyli $p+q\in \mathbb {Q}$).

b) jeśli liczba p jest wymierna ($p\in \mathbb {Q}$) i q jest niewymierna ($q\in \mathbb {IQ}$), to liczba p + q jest niewymierna ($p+q\in \mathbb {IQ}$).

c) oznaczmy przez $\mathbb {Q_{+}}$ zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba $p\in \mathbb {Q_{+}}$, ${\sqrt {p}}\in \mathbb {IQ}$ i $q\in \mathbb {Q_{+}}$, to $({\sqrt {p}}+q)^{2}\in \mathbb {IQ}$.

Ćwiczenia dodatkowe

14. Niektóre zbiory mają tę samą moc, tzn. mają taką samą liczbę elementów, np. zbiór $A=\{1,2,3\}$ ma taką samą liczbę elementów co $B=\{5,6,7\}$. Zbiory są równoliczne (są tej samej mocy), gdy istnieje między nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna. Pokaż, że:

a) zbiory $\mathbb {N}$ i $\mathbb {Z}$ są równoliczne

b) zbiory $\mathbb {N}$ i $\mathbb {Q_{+}}$ mają taką samą liczbę elementów

c) zbiory $\mathbb {Z}$ i $\mathbb {Q}$ są równoliczne

d) zbiór $(0;1)$ jest równoliczny z $\mathbb {R}$