Matematyka dla liceum/Zaczynamy/Zbiory

pojęcie zbioru, zbiór

Pojęcie zbioru

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematycznych. Pojęcia tego nie definiujemy – jest ono pojęciem pierwotnym. Czasami, zamiast „zbiór” możemy powiedzieć „rodzina”, „przestrzeń” czy „kolekcja”. Zbiór będziemy intuicyjnie rozumieć jako pewną całość złożoną z wielu obiektów, które będziemy nazywać elementami tego zbioru. Jeszcze bardziej obrazowo, zbiór można przedstawić jako worek, wypełniony przedmiotami, które są elementami zbioru.

Popatrzmy na przykłady:

• zbiór ciastek,
• zbiór liczb całkowitych nieparzystych,
• zbiór uczniów w klasie.

Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręce cztery cukierki – jeden o smaku cytrynowym, drugi o smaku truskawkowym, trzeci o smaku jabłkowym, a czwarty o smaku waniliowym. Zbiory są oznaczane zazwyczaj wielkimi literami alfabetu, np. A, B, C, D. Możemy nasz zbiór cukierków nazwać literą C (oczywiście, od słowa „cukierki”).

Element (przedmiot), który należy do pewnego zbioru, najczęściej oznaczamy małą literą, np. x, y, z. W związku z tym, oznaczmy cukierek cytrynowy jako c, truskawkowy jako t, jabłkowy jako j, a waniliowy jako w.

Jeśli element a należy do zbioru A, zapisujemy to $a\in A\;$ i czytamy „element a należy do zbioru A”. Możemy zapisać, używając naszych oznaczeń, że cukierek truskawkowy t należy do naszego zbioru cukierków C jako $t\in C\;$.

Podobnie, aby zaznaczyć, że dany element nie należy do zbioru, użyjemy zapisu $a\notin A\;$ -czyli a nie należy do zbioru A. Ponieważ nie posiadamy cukierka pomarańczowego p, cukierek p nie należy do naszego zbioru cukierków C, co zapiszemy: $p\notin C\;$.

Aby oznaczyć, że wymieniane elementy tworzą razem zbiór (lub odwrotnie, że zbiór składa się z danych elementów), umieszczamy je w nawiasach klamrowych. Nasz zbiór C składa się z cukierka cytrynowego c, truskawkowego t, jabłkowego j i waniliowego w, więc możemy zapisać $C=\{c,t,j,w\}\ \;$.

Liczbę elementów zbioru A oznaczamy $|A|\ \;$ i nazywamy mocą zbioru A. W przykładzie z cukierkami powiemy, że moc zbioru cukierków C wynosi 4, co zapiszemy $|C|=4\ \;$.

Ze względu na liczbę elementów w zbiorze, wyróżniamy zbiory skończone, np. nasz zbiór cukierków, oraz zbiory nieskończone, np. zbiór liczb rzeczywistych.

Szczególnym przypadkiem zbioru jest zbiór pusty, do którego nie należy żaden element. Oznaczamy go $\varnothing \;$ lub $\emptyset \;$.

Zbiory liczb

Wyróżniamy pewne zbiory liczb, które odgrywają istotną rolę w matematyce; do najważniejszych zaliczamy:

• zbiór liczb naturalnych,
• zbiór liczb całkowitych,
• zbiór liczb wymiernych,
• zbiór liczb niewymiernych,
• zbiór liczb rzeczywistych.

Przyjrzymy się teraz pokrótce każdemu z nich. Przedstawionych niżej opisów nie można traktować jako definicji tych zbiorów, ale raczej jako luźne wytłumaczenie tych pojęć, które może zawierać pewne nieścisłości.

Zbiór liczb naturalnych

Liczba naturalna to każda z liczb, do której możemy doliczyć, startując od 0 (co może trwać bardzo długo...). Zbiór liczb naturalnych jest więc zbiorem wszystkich takich liczb. Liczbą naturalną jest więc 4, 1001 i 100000000000. Liczbą naturalną nie jest natomiast -5 ani 2,5, ani też π.

W matematyce zbiór liczb naturalnych jest z reguły oznaczany przez $\mathbb {N} \;$. Ponieważ początkowe liczby naturalne to 0, 1, 2, 3 itd., zbiór liczb naturalnych jest to

$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,\ldots \}\;$.

Należy dodać, że czasami przyjmuje się, że 0 nie należy do naturalnych. Dla jednoznaczności niektórzy autorzy stosują wówczas symbol $\mathbb {N} ^{+}\;$:

$\mathbb {N} ^{+}=\{1,2,3,4,\ldots \}\;$.

Zbiór liczb całkowitych

Co to znaczy, że liczba jest całkowita? Liczba całkowita, to liczba postaci -1, -5, 1000, czyli liczby całkowite różnią się od naturalnych tym, że mogą być ujemne. Liczbą całkowitą znowu nie będzie π, jako że π = 3,14..., więc ma jakąś niezerową część ułamkową.

Zbiór liczb całkowitych będziemy oznaczać przez $\mathbb {Z} \;$. Widzimy, że

$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}\;$.

• Ciekawostka

  Mała dygresja dla bardziej spostrzegawczych. Niektórzy może zarzucą, dlaczego $\mathbb {Z} \;$, a nie $\mathbb {C} \;$. To prawda, że w wielu podręcznikach szkolnych używa się literki C do oznaczania zbioru liczb całkowitych, jednak w rzeczywistości, większość podręczników dotyczących matematyki zawiera oznaczenie $\mathbb {Z} \;$. Są to jednocześnie oznaczenia międzynarodowe, ponadto, używane są na uczelniach wyższych. Z podobnych względów oznaczymy zbiór liczb wymiernych literką $\mathbb {Q} \;$.

Zbiór liczb wymiernych

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera. Liczbami wymiernymi będą: 1, 2, ${\tfrac {-3}{5}}\;$, ${\tfrac {10\,000}{-99\,999\,999}}\;$, czy też 2,7563. Czy będzie nią liczba π? Okazuje się, że nie - ponieważ liczba π jest na tyle skomplikowana, że nie da się jej zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Zbiór liczb wymiernych w matematyce oznaczamy przez $\mathbb {Q} \;$.

Zbiór liczb rzeczywistych

Jest to "uniwersalny worek", ponieważ wszystkie liczby (których będziemy używać w liceum) są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie zbiory liczb, opisane wyżej, możemy do tego "worka" włożyć. Tak więc.. przykładem może być każda liczba, jaka przyjdzie do głowy.

Czym charakteryzują się liczby rzeczywiste? Otóż posiadają one w zapisie dziesiętnym cyfry od 0 do 9, mogą posiadać znak minus i część ułamkową po przecinku, ale nic więcej. Można by zapytać: jaka liczba nie spełnia tych warunków? Istnieje, na przykład, pewien zbiór (jest on jednakże w programie uczelni wyższych) liczb zespolonych (oznaczenie: $\mathbb {C} \;$).

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez $\mathbb {R} \;$.

Zbiór liczb niewymiernych

Jest to dopełnienie zbioru liczb wymiernych. Oznacza to, że każda liczba rzeczywista, która nie jest liczbą wymierną, jest liczbą niewymierną (i żadna inna). Są to wszystkie liczby rzeczywiste, których nie można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik są liczbami całkowitymi. Tu też znajdzie się liczba π i pierwiastki takie jak np. pierwiastek z trzech czy pięciu, ale nie z czterech, gdyż wynosi on 2. Z kolei, nie będą już liczbami niewymiernymi:1, 2, ${\tfrac {-3}{5}}\;$, ${\tfrac {10\,000}{-99\,999\,999}}\;$ (do niewymiernych należą te liczby rzeczywiste, które nie są wymiernymi).

Zbiór liczb niewymiernych będziemy oznaczać przez $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \;$ (co można tłumaczyć jako "zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R} \;$ bez liczb wymiernych $\mathbb {Q} \;$", symbol $\setminus \;$ oznacza różnicę zbiorów).

Zbiory - więcej

• liczba 0.9999... - czy całkowita? więcej w Rozwinięcie dziesiętne danej liczby,

• więcej o tej tematyce - Liczby i ich zbiory: pojęcie zbioru.