Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Podsumowanie

Podsumowanie

• $f(x)=ax^{2}+bx+c,\;\;x\in \mathbb {R} \quad -$ funkcja kwadratowa w postaci ogólnej. Dodatkowo $a\neq 0$.

• $\Delta \,=b^{2}-4ac$    - Delta (inaczej: wyróżnik kwadratowy)

• Parabola     - nazwa wykresu funkcji kwadratowej (przypomina 'wzniesienie' lub też 'dolinę')
  • Dla a > 0 ramiona paraboli są skierowane ku górze.
  • Dla a < 0 ramiona paraboli są skierowane ku dołowi.
  • (Dla a = 0 funkcja jest funkcją liniową)

• Wierzchołek paraboli - ma współrzędne (x_w, y_w) lub (p, q):

$p={\frac {-b}{2a}}$   oraz   $q={\frac {-\Delta }{4a}}$  (p, q to odpowiednio x, y wierzchołka).

wierzchołek jest miejscem, gdzie funkcja osiąga ekstremum (minimum lub maksimum, w zależności, jak są skierowane ramiona).

• Miejsca zerowe (pierwiastki) - ich ilość zależy od wartości delty $\Delta \,$:
  • Dla $\Delta \,>0$  są 2 miejsca zerowe równe $x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\;x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$
  • Dla $\Delta \,=0$  jest 1 miejsce zerowe, powyższe wzory sprowadzają się do $x_{0}={\frac {-b}{2a}}$
  • Dla $\Delta \,<0$  nie ma miejsc zerowych

• Postać iloczynowa - zawiera w swoim zapisie wartości pierwiastków, w zależności od delty $\Delta \,$:
  • Dla $\Delta \,>0$  postać z dwoma pierwiastkami  $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,$
  • Dla $\Delta \,=0$  powyższy wzór można zapisać jako  $y=a(x-x_{0})^{2}\,$
  • Dla $\Delta \,<0$  nie istnieje postać iloczynowa

• Postać kanoniczna - zawiera w swoim zapisie wartości współrzędnych wierzchołka paraboli:

$y=a(x-p)^{2}+q\quad {\mbox{czyli}}\quad y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}$

zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji - wystarczy wykres  $y=ax^{2}\,$  przesunąć o wektor  $[p,\,q]$.

Rozszerzone

• Wzory Viete'a

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}\qquad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Dodatkowe

• Współczynnik c to miejsce przecięcia się funkcji z osią OY.

• Wierzchołek znajduje się dokładnie w połowie odległości pomiędzy miejscami zerowymi, x₁ i x₂.