Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Przypomnienie działań na potęgach

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypomnienie działań na potęgach

działania na potęgach

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

• $a^{1}=a$
• $a^{n}=aa^{n-1}$
• ${\begin{matrix}a^{n}=&\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} \\&n{\mbox{ razy}}\\\end{matrix}}$
• $a^{0}=1$
• $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}$
• $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$
• $a^{\frac {m}{n}}=(a^{\frac {1}{n}})^{m}$
• ${a^{p}}\cdot {a^{q}}=a^{p+q}$
• ${a^{p}}:{a^{q}}=a^{p-q}$
• $(a^{p})^{q}=a^{pq}$
• ${(a\cdot b)}^{p}={a^{p}}\cdot {b^{p}}$
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{p}={\frac {a^{p}}{b^{p}}}$

Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10\cdot 2^{2}+2^{3}+2^{4}$

Rozwiązanie:

$10\cdot 2^{2}+2^{3}+2^{4}=5\cdot 2\cdot 2^{2}+2^{3}+2^{4}=$

$=5\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{3}+2^{4}=(5+1)\cdot 2^{3}+2^{4}=$

$=6\cdot 2^{3}+2^{4}=3\cdot 2^{4}+2^{4}=$

$=4\cdot 2^{4}=2^{2}\cdot 2^{4}=2^{6}$

b) $5^{2}{\sqrt {125}}-5^{3}+{\frac {500}{{\sqrt {5}}-1}}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}$

Rozwiązanie:

$5^{2}{\sqrt {125}}-5^{3}+{\frac {500}{{\sqrt {5}}-1}}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=$

$=5^{2}{\sqrt {5^{3}}}-5^{3}+{\frac {5^{3}\cdot 4}{{\sqrt {5}}-1}}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=$

$=5^{3}{\sqrt {5}}-5^{3}+{\frac {5^{3}\cdot 4({\sqrt {5}}+1)}{({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {5}}+1)}}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=$

$=5^{3}{\sqrt {5}}-5^{3}+{\frac {5^{3}\cdot 4({\sqrt {5}}+1)}{4}}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=$

$=5^{3}{\sqrt {5}}-5^{3}+5^{3}{\sqrt {5}}+5^{3}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=$

$=2\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}+3\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=(2+3)\cdot 5^{3}{\sqrt {5}}=5^{4}{\sqrt {5}}=5^{9 \over 2}$

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) ${\sqrt {8{\sqrt {32{\sqrt {16{\sqrt {128{\sqrt {2}}}}}}}}}}$

${\sqrt {8{\sqrt {32{\sqrt {16{\sqrt {128{\sqrt {2}}}}}}}}}}={\sqrt {2^{3}{\sqrt {2^{5}{\sqrt {2^{4}{\sqrt {2^{7}\cdot 2^{1 \over 2}}}}}}}}}={\sqrt {2^{3}{\sqrt {2^{5}{\sqrt {2^{4}{\sqrt {2^{15 \over 2}}}}}}}}}=$

${\sqrt {2^{3}{\sqrt {2^{5}{\sqrt {2^{4}\cdot 2^{15 \over 4}}}}}}}={\sqrt {2^{3}{\sqrt {2^{5}{\sqrt {2^{31 \over 4}}}}}}}={\sqrt {2^{3}{\sqrt {2^{5}\cdot 2^{31 \over 8}}}}}=$

${\sqrt {2^{3}{\sqrt {2^{71 \over 8}}}}}={\sqrt {2^{3}\cdot 2^{71 \over 16}}}={\sqrt {2^{119 \over 16}}}=2^{119 \over 32}$

b) ${\sqrt {9\cdot {\sqrt[{3}]{9\cdot {\sqrt[{4}]{9\cdot {\sqrt[{5}]{9}}}}}}}}$

${\sqrt {9\cdot {\sqrt[{3}]{9\cdot {\sqrt[{4}]{9\cdot {\sqrt[{5}]{9}}}}}}}}={\sqrt {9\cdot {\sqrt[{3}]{9\cdot {\sqrt[{4}]{9\cdot 9^{1 \over 5}}}}}}}={\sqrt {9\cdot {\sqrt[{3}]{9\cdot {\sqrt[{4}]{9^{6 \over 5}}}}}}}=$

$={\sqrt {9\cdot {\sqrt[{3}]{9\cdot 9^{3 \over 10}}}}}={\sqrt {9\cdot {\sqrt[{3}]{9^{13 \over 10}}}}}={\sqrt {9\cdot 9^{13 \over 30}}}=$

$={\sqrt {9^{43 \over 30}}}=9^{43 \over 60}$

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) ${\frac {12}{{\sqrt {7}}-2}}-4{\sqrt {7}}=8$

$L={\frac {12}{{\sqrt {7}}-2}}-4{\sqrt {7}}={\frac {12-4{\sqrt {7}}({\sqrt {7}}-2)}{{\sqrt {7}}-2}}={\frac {12-28+2\cdot 4{\sqrt {7}}}{{\sqrt {7}}-2}}=$

$={\frac {8{\sqrt {7}}-16}{{\sqrt {7}}-2}}={\frac {8({\sqrt {7}}-2)}{{\sqrt {7}}-2}}=8$

$P=8$

czyli $L=P$

b) ${\frac {24}{{\sqrt {10}}-2}}=4{\sqrt {10}}+8$

$L={\frac {24}{{\sqrt {10}}-2}}={\frac {24({\sqrt {10}}+2)}{({\sqrt {10}}-2)({\sqrt {10}}+2)}}={\frac {24({\sqrt {10}}+2)}{6}}=4({\sqrt {10}}+2)=4{\sqrt {10}}+8$

$P=4{\sqrt {10}}+8$

zatem $L=P$

c) ${\sqrt {31-12{\sqrt {3}}}}-3{\sqrt {4+2{\sqrt {3}}}}=-5$

$L={\sqrt {27-12{\sqrt {3}}+4}}-3{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}+1}}={\sqrt {(3{\sqrt {3}}-2)^{2}}}-3{\sqrt {({\sqrt {3}}+1)^{2}}}=$

$=|3{\sqrt {3}}-2|-3|{\sqrt {3}}+1|=(3{\sqrt {3}}-2)-3({\sqrt {3}}+1)=3{\sqrt {3}}-2-3{\sqrt {3}}-3=-5$

$P=5$

$L=P$

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba ${\sqrt {101-36{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}$ jest wymierna:

${\sqrt {101-36{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}={\sqrt {(2{\sqrt {5}}-9)^{2}}}+{\sqrt {(3+2{\sqrt {5}})^{2}}}=$

$=|2{\sqrt {5}}-9|+|3+2{\sqrt {5}}|=9-2{\sqrt {5}}+3+2{\sqrt {5}}=$

$=12\in \mathbb {Q}$

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba ${\sqrt {7+4{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {13-4{\sqrt {3}}}}$ jest niewymierna:

${\sqrt {7+4{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {13-4{\sqrt {3}}}}={\sqrt {({\sqrt {3}}+2)^{2}}}+{\sqrt {(1-2{\sqrt {3}})^{2}}}=$

$=|{\sqrt {3}}+2|+|1-2{\sqrt {3}}|={\sqrt {3}}+2+2{\sqrt {3}}-1=$

$=3{\sqrt {3}}+1\not \in \mathbb {Q}$