Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Funkcja potęgowa i jej własności

Funkcja potęgowaEdytuj

funkcja potęgowa
 
DEFINICJA

Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem  .

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dziedzina funkcji potęgowej:

  1. Jeśli  , to  
  2. Jeśli  , to  
  3. Jeśli  :
    • dla  , to  
    • dla  , to  


  Bardziej formalne oznaczenie zbioru C (liczb całkowitych) to  , natomiast W (liczb wymiernych) to  

WykresEdytuj

wykres funkcji potęgowej, własności funkcji potęgowej

O wykładniku równym zeroEdytuj

 

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że  . Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia   jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystymEdytuj

 

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

  1.  
  2.  
  3. Miejsce zerowe funkcji:  
  4. Wartości dodatnie:  
  5. Wartości ujemne:  , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych
  6. Ekstrema:
    Minimum: dla    
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Rośnie dla  
    Maleje dla  
  8. Funkcja nie jest różnowartościowa
  9. Funkcja jest parzysta
  10. Funkcja nie jest nieparzysta


O wykładniku dodatnim nieparzystymEdytuj

 

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

  1.  
  2.  
  3. Miejsce zerowe funkcji:  
  4. Wartości dodatnie:  
  5. Wartości ujemne:  
  6. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Rośnie dla  
  8. Funkcja jest różnowartościowa
  9. Funkcja nie jest parzysta
  10. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystymEdytuj

 

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

 

Własności:

  1.  
  2.  
  3. Miejsce zerowe funkcji: brak
  4. Wartości dodatnie:  
  5. Wartości ujemne:  
  6. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Rośnie dla  
    Maleje dla  
  8. Funkcja nie jest różnowartościowa
  9. Funkcja jest parzysta
  10. Funkcja nie jest nieparzysta
  11. Asymptoty:   i  

O wykładniku ujemnym nieparzystymEdytuj

 

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

 

Własności:

  1.  
  2.  
  3. Miejsce zerowe funkcji: brak
  4. Wartości dodatnie:  
  5. Wartości ujemne:  
  6. Ekstrema:
    Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej
    Maksimum: nie przyjmuje wartości największej
  7. Monotoniczność:
    Maleje w przedziale   i przedziale  
  8. Funkcja jest różnowartościowa
  9. Funkcja nie jest parzysta
  10. Funkcja jest nieparzysta
  11. Asymptoty:   i