Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań i nierówności potęgowych

Rozwiązywanie równań potęgowychEdytuj

rozwiązywanie równań potęgowych

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań potęgowych może być:

 ,
 ,
 .

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie   i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę:
     
  2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:
     
  3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi  :
     
  4. Czyli:
     

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie  :

  1. Ustalamy dziedzinę:
     
  2. Podstawmy:   i otrzymujemy równanie kwadratowe:
     
  3. Czyli:
     
     
  4. Otrzymujemy:
     
     

Spójrzmy na jeszcze inny przykład:  .

  1. Ustalamy dziedzinę:
     
    Czyli:  
  2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:
     
  3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:
     
     
     
  4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:
     
     
     
  5. Czyli:
     
     
  6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowychEdytuj

Przykładem nierówności potęgowej może być:

 
 
 

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

  1. Ustalamy dziedzinę.
  2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.
  3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:
    1.  
    2.  
  4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez  , gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ   zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność  .

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

  1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:
     
     
  2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
     
  3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
     
     
     
  4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:
      o krotności 4
      o krotności 1
     
  5. Rozwiązaniem nierówności jest  

Nierówność   możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny  ) wymnażając obie strony przez  , ponieważ   dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

   
 

Uwzględniając dziedzinę   otrzymujemy, że  . Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np.   (wykładnik nieparzysty), ponieważ   może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez   nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez   (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy  , czyli gdy  . Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np.   przechodzi na   (zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy  ), a także która z liczb   spełnia wymnożoną nierówność (wtedy  ). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie  , czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.