Iloczynem/Częścią wspólną zbioru A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B, formalnie zapisujemy ją tak: . Iloczyn zbiorów nazywany jest także częścią wspólną zbiorów lub przekrojem zbiorów.
Przykład.
Jeśli i , to . Liczba 1 jest jedynym wspólnym elementem tych zbiorów.
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A, a które nie należą do zbioru B, możemy ją zapisać tak: . Różnica zbiorów A i B zapisywana jest też .
Jeśli i , to . Jedynym wspólnym elementem obydwu zbiorów jest liczba 1, więc otrzymany zbiór będzie bardzo podobny do zbioru A, lecz nie posiadający liczby 1.
Dopełnieniem zbioru A z przestrzeni U nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A. Dopełnienie zbioru A oznaczamy jako lub . Dopełnienie możemy zapisać tak: .
Z definicji dopełniania wynika także, że jest to po prostu różnica przestrzeni U i zbioru A: . Zbiór U zwany jest zbiorem uniwersum. Czasami zamiast U używa się innego oznaczenia przestrzeni np. X.
Przykład.
Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór .
Przykład.
Jeśli , a przestrzenią U jest zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich jednocyfrowych, to dopełnieniem zbioru A będzie zbiór , ponieważ:
Własności działań na zbiorach i prawa De Morganaedytuj
własności działań na zbiorach, I prawo De Morgana na zbiorach, II prawo De Morgana na zbiorach
Prawa przedstawione wyżej mają pewne własności, które zaraz przedstawimy. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą prawa:
-- I prawo De Morgana
-- II prawo De Morgana
-- przemienność dodawania zbiorów
-- przemienność mnożenia zbiorów
-- łączność dodawania zbiorów
-- łączność mnożenia zbiorów
-- rozdzielność dodawania zbiorów względem mnożenia
-- rozdzielność mnożenia zbiorów względem dodawania
Przykład.
Mamy zbiór , , . Obliczyć :
(W rozwiązaniu celowo wykorzystano własności działań na zbiorach. Gdyby ich nie użyto rozwiązanie byłoby odrobinę krótsze.)