Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 6:
Funkcjonał napisanej wedle we wzoru {{LinkWzór|17.1}} nosi nazwę funkcjonału gęstości L i jest ona funkcją nieliniową argumentów. Dla podkreślenia faktów i dla uniknięcia nieporozumień nawias kwadratowy po L jest oznaczeniem, że mamy do czynienia z funkcjonałem, w której to w nawiasie występuje funkcja y, której to szukamy w rachunku wariacyjnym.
==Wariacje funkcji i funkcjonału==
Wariacja funkcjonału funkcji y będziemy umownie oznaczać przez &delta;y i nazywamy tą wielkość jako różnicyróżnicę funkcji y<sub>1</sub> i funkcji y, i to oznaczamy matematycznie:
{{IndexWzór|<MATH>\delta y=y_1-y\;</MATH>|17.3}}
Zwykle rozumiemy, że wariacja jest mardzo mała, rozumiemy to, że maksymalna wartość {{LinkWzór|17.3}} modułu z wielkości {{LinkWzór|17.3}} przyjmuje bardzo małą wartość i jest o wiele mniejsza niż jeden, co piszemy wzorem:
Linia 15:
 
==Ekstremum funkcjonału==
Funkcjonał uzyskuje minimum dla funkcji y<sub>o</sub>, jeśli funkcjonał funkcji y, czyli L[y] jest większy niż funkcjonał funkcji dla naszej wspomnianej funkcji y<sub>o</sub>, czyli L[y<sub>o</sub>], zatem w takim przypadkuwtedy:
{{IndexWzór|<MATH>L[y]\geq L[y_o]\;</MATH>|17.6}}
Analogicznie również definiujemy maksimum naszego badanego tutaj funkcjonału.
Linia 22:
 
==Równanie Eulera-Lagrange'a==
Rozpatrzmy, że minimum funcjonału jest napisane dla funkcji y<sub>o</sub> i dalej weźmy funkcję y, która różni się od funkcji y<sub>0</sub> niewiele, zatem funkcję y możemy zapisać jako y=y<sub>o</sub>+&delta;y Zakładamy, że wariacja jest na końcach, czyli w punktach a i b jest równa zero, co matematycznie &delta;y(a)=&delta;y(b)=0 na końcach w której liczymy naszą całkę {{linkWzór|17.1}}, zatem wariacje &delta;y' i &delta;y są o wiele mniejsze kolejno niż funkcje |y<sup>'</sup>(x)| i |y<sub>0</sub>(x)|, co matematycznie piszemy dla x&isin;(a,b) równaniami:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>|\delta y(x)|<<|y_0(x)|\;</MATH>|17.8}}
Linia 29:
Rozwińmy funkcję F w szereg Taylora względem ziennych &delta;y i &delta;y' wokół punktu y i y', wiedząc, że te różniczki są bardzo małe, zatem możemy ograniczyć się do części liniowej naszego rozwinięcia:
{{IndexWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}}
Funkcję {{LinkWzór|17.10}} wstawiamy fo funkcjonału określonego w punkcie {{LinkWzór|17.1}} i w drugiej całce tak dokonujemy całkujemycałkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając , że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego możemy napisać równość:
{{IndexWzór|<MATH>\delta L=\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'=
\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+\left({{\partial F}\over{\partial y^'}}\right)\delta y(x)\Bigg|^b_a-\int_a^b{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta(x)dx\;</MATH>|17.11}}
Linia 35:
Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać:
{{indexWzór|<MATH>0=\delta L=\int_a^b\left[{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\right]\delta y dx\;</MATH>|17.12}}
Funkcja podcałkowa w punkcie {{LinkWzór|17.12}} jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego &delta;, zatem w takim przypadku możemy powiedzieć, że zachodzi równość:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}=0\;</MATH>|17.13}}
 
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_wariacyjny”